Стохастическое уравнение Лиувилля для уравнений в частных производных

Стохастическое уравнение Лиувилля для уравнений в частных производных [c.158]

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи,. которое в этом случае играет роль стохастического уравнепия Лиувилля и называется уравнением Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных производных. Полученное уравнение для характеристического функционала представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным, то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого порядка по пространственным переменным) важно лишь выполнение условия причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается, т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи к задачам Коши для вспомогательных уравнений. [c.164]

Существенной чертой уравнений в вариационных производных для характеристического функционала является их линейность. При этом задача вероятностного описания нелинейных распределенных динамических систем сводится к решению линейных, но на классе уравнений большей размерности. Аналогичная ситуация имеет место при анализе нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенньти дифференциальными уравнениями. Их статистический анализ, как мы видели, может быть проведен в рамках стохастических уравнений Лиувилля, т. е. линейных уравнений в частных производных. Следует, однако, сказать, что математические средства (функциональный аппарат) решений уравнений в вариационных производных развиты цока недостаточно. [c.148]

В предыдущем параграфе было получено стохастическое урай-нение Лиувилля для простейших уравнений в частных производных — линейного и квазилинейного. Учитывая, что уравпепие Лиувилля само является линейным уравнением в частных производных, можно усреднить его по ансамблю реализаций флуктуирующих параметров и, следовательно, получить замкнутое уравнение для плотности вероятностей решения уравнений в частных производных. Так, для уравнения (1.6) получаем плотность вероятностей х(д), усредняя (1.10) по ансамблю полей м и у, а для квазилинейного уравнения (1.14) находим уравнение для плотности вероятностей усредняя (1.22) по ансамблю случайных функций Р (г, д), С I, д). Такое усреднение, как мы знаем из результатов предыдущих глав, можно провести, если случайные поля Р ( , д), С 1, д) — дельта-коррелированные во времени или представимы в виде 2 1) о ( , д), где 2 ( ) — процессы телеграфного типа, Р — детерминированные функции. Рассмотрим, например, уравнение (1.12), где будем считать и 1, х) случайным дельта-коррелированным по полем, описываемым функционалом 0Д11)(х, т)]. Усредняя (1.12) по ансамблю поля м, получаем уравнение для плотности вероятностей решения д I, х) [c.163]

Как показано в пятой главе, для лккюго уравиеиия в частных производных вида (3.3) можно ввести плотность вероятностей в фазовом пространстве, для которой удается написать лпиех ное уравнение эволюции (кинетическое уравнение, или уравнение Лиувилля). При наличии в задаче случайных параметров это уравнение является стохастическим и иодле-.кит дополнительному усреднению по ансамблю реализаций параметров. С учетом (3.8) в число переменных этого уравнения легко включить 1 (.к, ). Однако для нахождения статистических характеристик интенсивности волны можно воспользоваться более простым подходом. Как показано в г.л. 5, легко написать замкнутое кинетическое уравнение для величины [c.324]

Поскольку правая часть уравнения (10.4) содержит производ- ную от U по X 2-го порядка и функция Fi зависит не только от Уц V2,. . ., Vl, но и от лишних переменных Vi+y и Vi+ , уравнение v (10.5) не является замкнутым. Это ведет к тому, что статисти-ческие свойства системы можно определить, лишь зная функцию P t, X, и, Vl, v ,. ..) =

зависящую от всей бесконечной совокупности переменных fj . Интересующее нас распределение P t, х) выражается, очевидно, через распределение P t, X, и, Vl, l a,. ..), проинтегрированное по переменным и, Vl, l a,. .., т. е. выражается через бесконечномерный или континуальный интеграл. Именно это обстоятельство затрудняет использование стохастического уравнения Лиувилля в i частных производных для вероятностного описания распреде- ленных систем вида (10.4) и более общих, содержащих в F за- J висимость от У/ с i = 2, 3,. .. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...