Полиномы Цернике

В этом разделе рассматривается итеративный алгоритм расчета фазовых ДОЭ, которые могут быть названы тловыми спектральными анализаторами, служащими для разложения амплитуды когерентного светового поля по ортогональному базису с угловыми гармониками. Сферическая линза фактически играет роль фурье-анализатора, так как она раскладывает светового поля на плоские волны или пространственные фурье-гармоники. Аналогично, комбинация линза + ДОЭ может быть названа анализатором Бесселя, Гаусса-Лагерра, или Цернике если данный оптический элемент раскладывает лазерный свет по соответствующему базису. Разложение по модам Гаусса-Лагерра используется при селекции поперечных мод на выходе многомодового волокна с параболическим профилем показателя преломления [44 . Базис круговых полиномов Цернике используется при анализе аберраций волновых фронтов [45. [c.622]

Существует и другое полное множество ортогональных функций с угловыми гармониками в круге радиуса Го- Это круговые полиномы Цернике [45], которые подробно описываются в разделе 10.2.4. [c.624]

Базисные функции Цернике удобно использовать при анализе небольших аберраций волнового фронта. Анализатор, основанный на суперпозиции этих фун кций позволяет пространственно разделять вклад в световой нучок отдельных аберраций, описываемых одиночными полиномами Цернике. Сигнал на выходе такого анализатора может быть использован для управления адаптивным зеркалом в целях компенсации аберраций. [c.624]

В данном разделе с помощью фазового пространственного фильтра анализируются аберрации волнового фронта, с использованием разложения амплитуды пучка по базису ортогональных круговых полиномов Цернике [45]. При этом рассматривается разложение по полиномам Цернике комплексной амплитуды, а не сами фазовые поля. В этом случае интенсивность, пропорциональная коэффициентам разложения поля, будет формироваться в пространственной плоскости фурье-спектра. Далее, измеренные модули коэффициентов используются для вычисления аргумента ком- [c.629]

Д (г) — радиальные полиномы Цернике [c.630]

ГД + 1/2 — модифицированные функции Бесселя порядка л + 1/2 здесь мы использовали соотношение между полиномами Цернике и Лежандра, а именно = (29 ) Подставляя разложение [c.311]

Круговые полиномы Цернике [c.639]

Таким образом, в случае достаточно малых аберраций введение круговых полиномов Цернике автоматически решает задачу сбалансирования аберраций в указанном смысле более того, с помощью теоремы смещения можно определить положение дифракционного фокуса. [c.428]

КРУГОВЫЕ ПОЛИНОМЫ ЦЕРНИКЕ [c.703]

Обозначения коэффициентов в формуле (V.22) соответствуют (V.19), за исключением функции f (г), которая относится уже к зрачку, обладающему центральным экранированием полиномы (г) этой функции играют такую же роль для экранированного зрачка, как и круговые полиномы Церника в случае неэкранированного зрачка. Функция (г) может быть приближенно выр жена коэффициентом 1 -f / (I -Ь 0 ). [c.160]

Для полиномов Цернике условие ортогональности записывается в следующем виде [c.50]

Таким образом, эти полиномы ортогональны на единичном круге — каноническом зрачке. Разложение волновой аберрации по полиномам Цернике имеет вид [c.50]

Преимущества полиномов Цернике заключаются прежде всего в том, что каждый член разложения представляет собой оптимальную форму аберрации в смысле минимума среднего квадрата волновой аберрации. Общий средний квадрат волновой аберрации при этом находится как сумма квадратов коэффициентов, умноженных на нормы полиномов (без коэффициента qq), [c.50]

Если коэффициенты с п относятся к ортогональным полиномам Цернике, то в качестве базиса Р/ (х) логично выбрать полиномы, ортогональные на отрезке (—1, 1) с весом q (х) [c.51]

В этом случае более благоприятным является ортогональный базис в виде полиномов Цернике, описанных формулой (2.74). Конструкционная матрица получается суш ественно лучше обусловленной, чем при степенном базисе. Степень обусловленности при прочих равных условиях оказывается близка к 10, т. е. погрешность коэффициентов разложения волновой аберрации по полиномам Цернике получается гораздо меньше (в 10 —10 раз), чем по степенным полиномам, при одной и той же погрешности данных. Говорят, что аппроксимация полиномами Цернике гораздо более корректна или более устойчива, чем степенными полиномами. [c.129]

Коэффициенты 7 зависят от нормировки полиномов. В частности для полиномов Цернике нормировка выбирается таким образом, что значение всех полиномов на правом краю интервала Q = (0,1) равно единице, т. е. Р (1) = I. Отсюда получаем [c.155]

Для полиномов Цернике коэффициенты а , 7 также могут быть вычислены аналитически. В соответствии с формулой (2.71), [c.155]

Существует полное множество ортогональных функщш с угловыми гармониками в круге радиуса Го- Это круговые полиномы Цернике [45] [c.630]

Заметим, что так как Щ г) = 1, базис полиномов Цернике содержит единицу в катс1естве члена разложения- Поэтому если осветить фильтр Цернике плоской волной с амплитудой E r,ip) = onst, окажется, что только один коэффищент разложения (10.90) будет ненулевым [c.633]

Для круглого зрачка импульсный отклик, а именно интеграл в (4.15.6), можно вычислить, используя полиномы Цернике [см., например, выражение (4.13.34)]. В частности, при простой дефокусировке этот интеграл можно выразить через функции Ломмеля (см. задачу 23). Для квадратного зрачка при дефокусировке и наличии сферической аберрации К можно выразить через функцию 1 и, V), вычисленную Перси (см. обсуждение в разд. 5.5). При малых аберрациях наблюдается уменьшение интенсивности в центральном пятне, в то время как внешние кольца становятся более яркими. При этом размер центрального пятна существенно не изменяется. Основываясь на этом наблюдении, Стрел в 1902 г. предложил для измерения аберраций использовать отношение максимального значения интенсивности в центральной зоне изображения точечного источника реальной системы к соответствующей величине в оптической системе без аберраций, имеющей ту же апертуру и фокусное расстояние. Это отношение V, называемое отношением интенсивности Стрела, фактически определяет долю света, приходящуюся на центральное пятно. Отношение Стрела нетрудно вычинить с помощью выражения (4.15.6), если положить х = у = х = у = 0, вычесть из величины ее среднее значение по апертуре и использовать для фазового множителя ехр[— /А (Жо - < разл ение 1 — — < о , что допусти- [c.323]

Круговые полиномы Цернике. При изучении эффектов аберраций в рамках геометрической оптики (см. гл. 5) мы разлагали функцию аберраций Ф в степенной ряд. Здесь же, поскольку интегрирование производится по единичному кругу, удобнее разлагать Ф по полной системе полпномов, ортогональных внутри единичного круга ). Существует много систем полномов, обладающих таким свойством однако одна из них, введенная Цернике [23]> обладает еще и простыми свойствами инвариантности. В приложении 7 дан вывод круговых полиномов Цернике и обсуждаются некоторые их свойства здесь мы приведем лишь те формулы, которые потребуются в настоящей главе. [c.425]

Разложение функции аберраций. Следуя Нижберу, разложим функцию аберрации Ф по круговым полиномам Цернике Из симметрии задачи вытекает, как и в 5.1, что разложение содержит лишь комбинации перемен-лых, а именно и Kip os0, так что оно должно иметь вид [c.426]

Критерий Марешаля следует нз неравенства (1а), одиако если аберрации малы, то он практически не отличается от приведенного выше кртс-рия. Для наших целей удобнее пользоваться соотношением (1), а не (1а), поскольку первый более прямым образом связан с экстремалыгыми свойствами круговых полиномов Цернике. [c.429]

Здесь F(,, и У(р, — два произвольных полинома системы, звездочка — комплексное сопряжение, б — символ Кронекера и — нормировочная постоянная, которая будет определена позднее. Круговые полиномы Цернике отличаются от полинорлов других систем некоторыми простыми свойствами инвариантности, которые проще всего объяснить в рамках теории групп. Однако с помощью своего рода нормировки можно избежать введения абстрактного формализма теории групп. Рассмотрим сначала такие системы полиномов, которые инвариантны по форме относительно поворота координатных осей вокруг начала координат. Такая инвариантность означает, что при любом повороте [c.703]

ОТ основпой темы. Поэтому читателя, который заинтересуется использованием полиномов Цернике, мы отошлем к ряду отличных книг, в которых они рассматриваются ). [c.112]

Полиномы Цернике различных порядков для неэкранированиого зрачка [c.161]

В настоящем приложении будут более подробно рассмотрены круговые-полиномы, о которых мы кратко говорили в п. 9.2.1. Эти полиномы были впервые введены и исслсдовапы Цернике ]39] в его сажной работе, посвященной исс, 1едованию метода темного ноля и фазового контраста затем они изучались им и Бринкманом 140], а также Нижбером [41]. Эти полиномы были позднее выведены только из требования ортогональности и инвариантности [421 в нашем изложении мы будем придерживаться в основном последнего исследования. [c.703]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...