Независимые и связанные статистические величины

Законы распределения значений статистических величин и законы связи между ними дают возможность выяснить важное различие между независимыми и связанными статистическими величинами. [c.42]

Теорема о математическом ожидании суммы или разности статистических величин верна как для независимых так и для связанных статистических величин. Это положение становится особенно ясным, если применить иное доказательство рассматриваемой тео- [c.85]

Предположим, что суммирование по 5 в (4.3.30) ведется в пределах 1 < 5 < ш. Тогда в квазиравновесном состоянии приведенные матрицы плотности при s <т рассматриваются как независимые неравновесные величины, а матрицы плотности более высокого порядка выражаются через них. Частный случай ш = 1 соответствует граничному условию Боголюбова, согласно которому все приведенные матрицы плотности в отдаленном прошлом выражаются через одночастичную. Если в формуле (4.3.30) мы положим 5 = О при 5 > 3, то получим статистический оператор для квазиравновесного ансамбля, в котором заданными величинами являются одночастичная и двухчастичная матрицы плотности. Этот ансамбль описывает важные долгоживущие корреляции, например, связанные двухчастичные состояния ). Эволюция системы описывается системой уравнений для одночастичной и двухчастичной матриц плотности. Здесь мы не будем излагать эту довольно сложную теорию, а рассмотрим один частный, но важный пример обобщенного квазиравновесного статистического оператора, который соответствует объединению кинетического и гидродинамического описаний квантовых процессов [128]. [c.289]

Закон средних чисел в изложенном десь простейшем случае независимых статистических величин установлен Чеб ышевым. Рас- пространение закона средних чисел на связанные статистические ) Величины и дальнейшее его развитие дается в трудах Маркова, Ляпунова и других математиков-статистиков. [c.146]

Попарное равенство этих корреляций означает равноправие точек 1 и 2 (х и х + ) в пространстве. Последнее условие предполагает пространственную стационарность Ву, В2, Ф1 и ф2 и их стационарную статистическую связанность. Из обращения в нуль корреляций (4.69) при выполнении условий (4.70) вообще не следует статистическая независимость величин (Вх 4--Ь Вг) и (ф1 — ф2). Если Ву + В2) и (ф1 — Ф2) статистически независимы, то их корреля1щя тождественно равна нулю, но из обратного условия (т. е. из условия равенства нулю их корреляции) их статистическая независимость следует только при условии, что случайные амплитуды (Ву + В2) и фазы (ф1 — Ф2) распределены по нормальному закону. Таким образом, если (Ву + В2) и (ф1 — Ф2) распределены по нормальному закону и поле статистически однородно (стационарно), то тогда (В1 + В ) и (ф — фг) статистически независимы, хотя все четыре величины В1, Вг, фх и фг попарно зависимы, как это следует из (4.70). [c.144]

На практике не всегда так ясно определимы различные виды разрушения. Композиты могут разрушаться в результате комби- нации механизмов, особенно если матрица может стать хрупкой под влиянием локального напряженного состояния. В указанных моделях единственной функцией матрицы является создание барьера для распространения трещины, а статистические результаты применимы только к прочности хрупкой составляющей. В действительности матрица может нести часть нагрузки и может влиять на величину пика напряжений в композите вследствие ее способности к пластической деформации. Растрескивание частиц не может быть независимым, так как разрушенная частица может сильно влиять на изменение распределения напряжений в ее окрестности и, следовательно, трещины не могут распределяться случайно. Влияние концентрации локальной деформации вследствие разрыва волокна в волокнистом композите обсуждено в [3] в связи со статистическими моделями Гюсера — Гурланда и Розена, приведенными в [36, 37, 77]. Связанная с ними проблема образования больших критических трещин проанализирована статистическими методами в [56]. [c.102]

Остановимся на приведенном выше рассуждении, относящемся к отмеченным Хинчином свойствам сумматорных функций. По поводу этого рассуждения, так же как и по поводу других подобных рассуждений, нужно сказать следующее. Прежде всего, для построения физической статистики совершенно недостаточно результатов, относящихся только к некоторому узкому классу функций, вроде сумматорных функций. Уже указание на применяемый в статистике — и единственно там возможный — способ определения важнейшей физической величины вероятности состояния (обычно описываемый как способ определения числа комплексий), в частности, указание на флюктуационпую формулу (причем здесь, поскольку речь идет о равенстве средних фазовых средним временным, эти формулы для вероятностей рассматриваются нами как законы распределения во времени), показывает, что физическая статистика принципиально не может ограничиться установлением равенства временного и фазового средних лишь для сумматорных функций. Эти формулы для вероятностей показывают, что вероятность осуществления любой области фазового Г-пространства определяется величиной фазового среднего ее — характеристической функции, отнюдь не являющейся сумматорной функцией. Для статистики необходимо равенство средних для всех таких характеристических функций (см. 1). Если бы равенство распространялось лишь на сумматорные функции, то статистика была бы лишена возможности определения не только вероятностей возникновения неравновесных состояний, но и возможности определения любых величин, характеризующих эти неравновесные состояния. Кроме того, тот же результат — невозможность ограничиться суженными требованиями к динамическим свойствам статистических систем — независимо от всех только что упомянутых оснований, связанных с законами распределения временных средних, вытекает из существования релаксации, т. е. существования вероятностных распределений, в любой момент после времени релаксации (см. 1). Как мы видели, существование релаксации влечет за собой необходимость приписать статистическим системам вполне определенную характеристику,— они должны быть размешивающимися системами ( 5). [c.122]

Формула (5.9) определяет характерное число шагов отображения, через которое малое возмущение начальных условий, связанное с изменением энергии частицы на величину АЕ, приводит к статистической независимости этих траекторий вследствие процесса перемешивания. С другой стороны, для типичного цикла с энергией Е существует типичное время цикла т и, следовательно, типичное число шагов отображения V = ]7(.Е). Согласно (5.9) величина N0 растет при Д.Б -> О, в то время как N E) не изменяется. Поэтому прп достаточно малых АЕ всегда выполняется [c.228]

Наконец, в третьих. Пусть внутренние движения происходят независимо от трансляционного. Тогда статистический интеграл распадается на произведения 7 = ,ра сл внутр. причем в случае, когда отдельные виды внутренних движений (вращения, колебания и т. д.) не зависят друг от друга (см. гл. 2, 3 данного тома), это распадение на сомножители продолжится, внутр = враш колеб -, э все термодинамические величины, связанные с 1п Z, будут представлены в виде суммы независимых частей. Для трансляционной части, как мы видели, закон соответственных состояний установить можно, причем так как при сделанных выше предположениях объем V входит только в тра сл. а давление р = вд п Х/дУ, то уравнение состояния ж = 7г(т, р) будет нечувствительно к наличию внутренних движений в молекулах. Для теплоемкости будет по-другому, к трансляционной части р) прибавятся Сарзщ, Скшев [c.136]

Модель представляет собой трехмерную сетку, составленную из случайным образом ориентированных капилляров одинакового радиуса и одинаковой длины. Впервые подобная модель была рассмотрена Дж. Тэйлором [1953 г.], но наиболее глубокий анализ процесса конвективной диффузии в такой модели был проведен П. Саффманом. Автор рассмотрел динамику дисперсии нейтрального индикатора в модели при осуществлении в ней фильтрации жидкости-носителя, подчиняющейся закону Дарси. При этом предполагается, что путь частицы индикатора состоит из суммы статистически независимых шагов, каждый из которых связан с одним из капилляров модели, поэтому его направление и продолжительность варьируют случайным образом. В работе, опубликованной в 1959 г., рассматривается случай, когда коэффициент молекулярной диффузии сопоставим или меньше характерной для модели величины, измеряемой произведением длины единичного капилляра на среднюю скорость фильтрации жидкости. [c.127]

Остановимся, наконец, на введении еще одного, третьего из основных статистических формализмов, связанного с выделением рассматриваемой системы с помощью воображаемых стенок (см. гл. I, 2, вариант у), т, е. с выбором в качестве независимых термодинамических переменных величин 0, а, [I (х=У, а). Несмотря на то что такой выбор в термодинамическом смысле совершенно эквивалентен сделанному в 3 или 4, все же фиксация химического потенциала ц как независимой макроскопической переменной на первый взгляд не представляется удачной, так как практически не существует приборов типа и-мстров , непосредственно измеряющих этот параметр. Однако такой выбор означает отказ от точной (в микроскопическом смысле) фиксации числа частиц, а именно это в целом ряде задач (особенно при рассмотрении квантовых систем из одинаковых частиц, см, гл. П1) существенно упрощает рассмотрение, так что дополнительная проблел1а пересчета уже готовых результатов от переменных 0, X,, и к переменным 0, х, N представляется в идейном отношении просто элементарной (такой пересчет осуществляется исключительно методами одной термодинамики). [c.316]

Связанность по распределению и память. Хотя последовательная связанность может увеличить протяженность оперативной памяти, связанность по распределению подобным свойством не обладает. Поллак [90] получил, что протяженность постоянна и составляет около семи объектов, независимо от того, какую информацию они содержат приблизительно такое количество двоичных цифр, десятичных цифр или букв может быть воспроизведено. Кардозо и Леопольд [10] не обнаружили различия в величине протяженности для букв и чисел при визуальном предъявлении, но при использовании слуха количество воспроизведенных букв оказалось несколько меньше, чем цифр (уменьшение было статистически значимым), т. е. наблюдалась тенденция сближения количеств переданной информации. Однако, как хорошо известно, число объектов — более существенная характеристика оперативной памяти, чем информация. Например,- экстраполяция упоминавшихся выше экспериментальных данных Маркса и Джека дает протяженность примерно в 7 слов для первой аппроксимации [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...