Метод асимптотических оценок интегралов

Практическая значимость асимптотических оценок чрезвычайно велика. Это объясняется тем, что решение многих нетривиальных задач математической физики получается очень громоздким или сложным по форме. Например, оно может быть задано сложным функциональным рядом или контурным интегралом. Вместе с тем часто в задачах надо знать точное решение не при всех значениях параметров и переменных, а лишь при некоторых предельных значениях. Например, иногда достаточно знать поведение решения по истечении большого промежутка времени. В этих случаях о поведении сложного точного решения можно судить по его асимптотическому разложению. Так как решение линейных задач теории теплопроводности может быть всегда выражено в виде контурных интегралов (а в ряде случаев и интегралов по действительной переменной), то, естественно, в первую очередь надо рассмотреть методы асимптотических оценок интегралов соответствующих типов. [c.557]

Метод перевала. В дальнейшем будет применяться метод асимптотической оценки интегралов типа [c.151]

Теорема Коши и теорема о вычетах дают широкие возможности для преобразования интегралов и сумм, в частности для вычисления контурных интегралов при обращении преобразования Лапласа. Но так как большинство интегралов, встречающихся на практике, не вычисляются в конечном виде, то особое значение имеют различные методы асимптотических оценок некоторые из этих методов также приведены здесь. [c.523]

С методом Лапласа, служащим для асимптотической оценки интегралов по действительной переменной, тесно связан так называемый метод перевала асимптотических оценок контурных интегралов вида [c.561]

Методы теории вычетов могут быть использованы и для задач, в каком-то смысле обратных рассмотренным выше. Часто оказывается полезным выразить какую-либо функцию через контурный интеграл. При этом интегральное представление сложной функции может оказаться удобным для исследования, если подынтегральное выражение в контурном интеграле имеет простой вид и содержит элементарные функции. Кроме того, деформируя контур в соответствии с теоремой Коши, можно получить различные приближенные оценки для интегралов, например их асимптотические оценки. В частности, если функция задана рядом, то представление суммы ряда через контурный интеграл позволяет в некоторых случаях найти сумму ряда в конечном виде. [c.550]

Подробные сведения об асимптотических рядах и об асимптотических методах изложены в литературе [17 45 55 107 115]. Здесь мы остановимся лишь на способах асимптотических оценок функций, заданных интегралами (формулами обращения). [c.109]

Применим к асимптотической оценке этих интегралов метод наискорейшего спуска. [c.449]

Вычисление коэффициентов аберрации начинают с того, что-устанавливают функции U z), B z), Uz z), 2(2 ), Ui z), 4(2) и т. д. Затем решают уравнения параксиальных лучей для некоторых простых наборов начальных условий и подставляют эти решения вместе с заданными функциями осевых потенциалов в коэффициенты аберраций, которые всегда можно выразить в виде определенных интегралов (см. разд. 11.1.4). Реальная оценка этих интегралов возможна с помощью численных методов, выведенных в разд. 6.3. Реальные и асимптотические-коэффициенты аберраций можно ввести в соответствии с прин- [c.575]

Применим к оценке этих интегралов метод перевала, при этом будем пользоваться вычислениями, выполненными в 10 для нахождения асимптотической формулы для интеграла S . [c.356]

Вернемся к анализу поля точечного источника, расположенного Над слабой границей раздела. Полученные выше результаты, как мы видели, позволяют вычислить звуковое давление в отраженной волне в двух предельных случаях. - когда и - J мало или велико по сравнению с (AJ i) . В промежуточном диапазоне расстояний, где Ы - 1 - 1, асимптотику лоля не удается выразить через известные специальные функции. Обзор выполненных до середины бО-х годов работ, посвященных задаче о слабой границе раздела, в том числе - в случае упругих полупространств, дан в статье (237], Позднее Стикпер (516, 517] опубликовал асимптотику поля отраженной слабой границей волны в терминах функций параболического цилиндра. Этот результат, однако, является ошибочным. В работе (99] показано, что в случае и 1 подынтегральная функция в (12,10) не удовлетворяет условиям гладкости, необходимым для применимости использованного р (516, 517] метода асимптотической оценки интегралов из статьи (363], [c.268]

В заключение отметим следующее. Основой найденных выражений являются общие асимптотические формулы (4.2) и (4.3). Получение таких формул базируется на использовании стандартной техники метода наибыстрейшего спуска [141]. Однако вид функции Ф ( ) в (4.1), имеющей в данном случае две точки ветвления и полюс, значительно усложняет конкретные выкладки, связанные с построением пути наибыстрейшего спуска на верхнем листе четырехлистной римановой поверхности. Примером таких трудных ситуаций может быть случай, возникающий в связи с возможностью совпадения седловой точки = йг sin 0 с точкой ветвления = = ki при некотором угле 0. Подробное обоснование справедливости асимптотических оценок интегралов в том виде, как это представлено выше, содержится в работе [233]. [c.99]

Цель настоящего приложения состоит в изложении математического обоснования до известной степени общих методов, используемых в осиовиой части кпчгк и позволяющих получить асимптотические оценки интегралов некоторых типов, часго встречающихся при решении оитических за щч. [c.687]

Большинство методов получения асимптотических оценок для функций и (/), заданных интегралами, основано на следующем. На пути интегрирования определяется такая точка (положение которой, возможно, зависит от /), что при tвклад произвольно малой ее окрестности асимптотически точно определяет Иногда таких точек оказывается несколько, и тогда асимптотика представляется суммой вкладов окрестностей всех этих точек иногда же на данном пути не существует ни одной такой точки. В последнем случае (если подынтегральная функция аналитическая) можно попытаться изменить путь интегрирования таким образом, чтобы на новом пути указанная точка существовала. Возможность ограничиться интегрированием по произвольно малому промежутку обычно позволяет заменить подынтегральное выражение его асимптотикой в окрестности / о (р Ро) в результате чего и оказывается возможным найти асимптотику (/) функции и (/) при t [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...