ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод асимптотических оценок интегралов из "Основы оптики Изд.2 " Асимптотическое разложение (5) легко получить для этого функцию h( x) нужно разложи 1ь в ряд по степеням р., а затем почленно проинтегрировать его. [c.688] Для физических приложений желательно, чтобы а О и р 1. Как уже отмечалось ранее, первый член в (7) тоже часто дает хорошее приближение. [c.689] Для того чтобы с помощью замены переменной интегрирования интеграл (1) можно было представить в виде одного или нескольких интегралов типа (5), необходимо, чтобы путь интегрирования в (1) состоял из отрезков, вдоль которых мнимая часть / (г) остается постоянной, а вещественная монотонно убывает до —оо. Если путь интегрирования не удовлетворяет этому требованию. его необходимо соответствующим образом деформировать. Такая процедура подчиняется, конечно, основным законам интегрирования в комплексной плоскости здесь будет только показано, каким образом можно замкн аь путь интегрирования с помощью отрезков, обладающих требуемыми свойствами, если предположить, что вычисление любого остающегося контурного интеграла можно провести обычным способом. [c.689] Они называются седловыми точками, потому что в них вещественная и мнимая части / (г) стационарны на комплексной плоскости, не будучи ни абсолютными максимумами, ни абсолютными минимумами ). [c.689] Необходимо отметить, что в ряде случаев описанный метод не годится, но их исследование становится возможным при небольшом его видоиз.менении. Прежде всего отметим, что замена верхнего предела в (5) любым положительным числом (не зависящим от k) не приводит к изменению асимптотического-разложения (7). Следовательпо. этот случай можно исследовать, исиользуя путь наибыстрейшего спуска, вдоль которого и(х, у) стремится не к —со, а к конечному значению. Как и раньше, можно использовать путь v(x, у) = onst, на котором лежит несколько точек, где скорость изменения и(х, у) меняет знак. [c.690] Необходимо сделать несколько замечаний относительно случаев, когда приближение (12) недостаточно или несправедливо. Полное асимптотическое разложение получается, конечно, если разложить fig (г)// (г) в степенной ряд по л, а затем почленно проинтегрировать (11). Как видно из (7), степень k в первом члене аси.мптотического разложения определяется степенью р, с которой начинается разложение в ряд (г). Если первый член такого ряда равен где р 1, что обеспечивает сходимость интеграла, то первый. [c.690] Таким образом, если г( о)- сх) или / (го)=0, то выражением (12) пользоваться нельзя и его следует заменить на (13). В этом случае при к х множитель перед ехр kf z ) стремится к пулю медленнее, чем Если g г ) 0 или то (12) нельзя считать пригодным, но при к- оо множитель перед ехр /(г,,) стремится к нулю быстрее, чем /г /. [c.691] Это преобразование представляет г в качестве регулярной функцип р в окрестности г и г1 и приводит к асимптотическому разлол- епию, выраженному чере интеграл Эйри и его первую производную по аргументу /г 3. [c.691] Наконец, предположим, что начальная точка пути наибыстрейшего спуска не совпадает с седловой, но приближается к ней весьма близко. Ясно, что в этом случае для перехода от одной асимптотической формы к другой снова можио воспользоваться интегралом ошибок [14]. [c.692] В обозначениях (9) кривая v x, у) = onst снова описывает путь интегрирования однако в (14), в противоположность методу наибыстрейшего спуска, амплитудная часть экспоненты остается постоянной вдоль этого пути, тогда как фаза меняется с максимальной скоростью. Можно, как и раньше, показать, что основные вклады в интеграл вносят отрезки пути, лежащие вблизи седло-вых и концевых точек, однако физическое толкование этого результата проводится теперь не в терминах спадания амплитуды, а в терминах фазовой интерференции (см, 8.3). [c.692] Однако здесь необходимо отметить одно различие между обоими методами. При использовании метода наибыстрейшего спуска с путем интегрирования, начинающимся в седловой точке и не уходящим иа бесконечность, вклад в асимптотическое разложение от концевой точки пути оказывается бесконечно малым по сравнению со вкладом от седловой точки, поскольку первый содержит дополнительный экспоненциальный множи1ель. Вместе с тем при использовании метода стационарной фазы вклад от концевой точки пути иитегрирования равен но порядку величины вкладу от седловой точки, деленному на й / поэтому он не входит в асимптотическое приближение только в том случае, если учитывается лишь первый член разложения. [c.693] Таким образом, методы наибыстрейшего спуска и стационарной фазы (если отвлечься от их математического представления) состоят в выборе такого пути интегрирования, вдоль которого подынтегральное выражение, содержащее экспоненциальный множитель, вносит пренебрежимо малый вклад в интеграл везде, за исключеиием окрестностей некоторых критических точек, являющихся либо седловыми, либо концевыми точками пути интегрирования. [c.693] Естественно, что теория асимптотических разложений двойных интегралов намного сложнее, чем в случае однократных интегралов. Техника интегрирования на комплексной плоскости непосредственно применима лишь дЛя однократных интегралов, поэтому представляется, что для вычисления двойных интегралов следует воспользоваться методами, отличными от изложенных выше. [c.693] Случай, когда f x, у) является вещественной функцией, подробно исследовался Фокке с помощью нейтрализующей функции в работе [20] ) мы уже ссылались на нее в связи с применением этого метода к однократным интегралам. Анализ показывает, что вклады в асимптотическое paзJюжeниe вносят лишь области в окрестностях определенных критических тачек и что при различных тииах таких точек ) в главных членах соответствующих вкладов появляются разные степени к. [c.693] Существуют три типа критических точек. Исследуем кратко главные члены их вкладов в асимптотическое разложение, не учитывая случаев, когда критическая точка принадлежит одновременно к нескольким типам. [c.693] Выражение (20) является аналогом асимптотического приближения (15) для однократного интеграла. [c.694] Вернуться к основной статье