Теорема о неявных функциях

Зафиксируем г и t. Так как дФ/ду ф 0, можем воспользоваться теоремой о неявной функции и записать эти уравнения в виде [c.200]

М Множество особых точек полей семейства имеет вид. (х, e) v x, е)=0 . По лемме Сарда множество критических значений отображения v имеет меру нуль. Следовательно, существует вектор б произвольно малой длины, для которого —6 — некритическое значение отображения v. Множество v x, е)=—6 —гладкое многообразие по теореме о неявной функции. Но это многообразие есть множество особых точек векторных полей семейства v х, е) +6. [c.15]

Рассмотрим точки, в окрестности которых медленная поверхность проектируется диффеоморфно. Таковы точки, в которых отличны от нуля все собственные числа линеаризации уравнения быстрых движений на фиксированном слое (т. е. при фиксированных значениях медленных переменных) — по теореме о неявной функции. Такие точки назовем регулярными. [c.168]

Гессиан функции L относительно переменных qi (г = 1, 2,, п) отличен от нуля (см. неравенства (45), (46) п. 147). Замечая, что он равен якобиану правых частей равенств (2), на основании теоремы о неявной функции получаем, что эти равенства разрешимы относительно переменных qi [c.284]

Справа получаем элементы определителя Грама линейно независимых векторов iis, который отличен от нуля. По теореме о неявной функции при каждом q величины р суть однозначные функции %. В результате [c.93]

Эти способы локально равносильны теореме о неявной функции. Задание в виде графика функции, например, у = ( х) относится к обоим способам сразу (г/ —<р(л ) =0 или г/=ф( ), x = q). [c.160]

Положив T = qn+i, по теореме о неявной функции получим [c.274]

По теореме о неявных функциях зависимость (а, /3) — корней уравнения В .з) = 0 от а и (3 аналитическая. Следовательно, при непрерывном изменении а и /3 эти корни вычерчивают в плоскости 5 непрерывные кривые. [c.176]

Доказательство аналогично доказательству предложения 1. Заключение. Общий антиплоский случай, разобранный в разд. 1—3, является много более сложным, чем частный случай разд. 4. В частности, нахождение поверхности Гу ни в одном из трех случаев пункта в теоремы 3 не сводится к непосредственному использованию теоремы о неявной функции. Однако аналогия с разд. 4 позволяет сделать следующие предположения о задаче отыскания поверхности Гу для классического решения уравнений (1.1) — (1.5) [c.136]

Рассматриваем это уравнение как неявную функцию А(е). При е = О уравнение переходит в характеристическое уравнение нутационной системы, у которого, в соответствии со сделанными выше замечаниями, т ненулевых корней Л",. .., Aj . По теореме о неявных функциях, в случае, если среди AJJ нет кратных, корни полного уравнения можно искать в виде [c.194]

В случае, если оператор og (xo, 0)/ox невырожден, хо является простым корнем амплитудного уравнения. По теореме о неявной функции система (17) имеет в этом случае единственное решение для достаточно малых значений /i, этот же вывод справедлив для основного уравнения (1). Построению данного решения и сопутствующим оценкам посвящен следующий раздел. [c.410]

Доказательство. Согласно леммам 1 и 2, зд = оЦ), где 0 — аналитическая функция от у. Так как [г4о,г о = О, то — интеграл невозмущенной системы (1.1) (см. 3 гл. П). По лемме 1 из 1 функции 0 и Яо зависимы в точках множества Pi П ) в силу ключевого свойства этого множества они зависимы всюду. В малой области нет критических точек функции Яо, поэтому по теореме о неявной функции в этой области = Фо(Яо), где Фо — некоторая аналитическая функция (см. п. 1 1). Следовательно, векторное поле = (щ — Фо(Я)г) .)/ снова будет аналитическим полем симметрий. Аналогично шо = Ф1(По)ьо и т. д. В результате имеем Us = Ф(Я, )г ., где Ф = Фо + Ф1 +. .. Теорема доказана. [c.193]

Подробное доказательство этого результата, основанное на теореме о неявных функциях, приведено в книге Пуанкаре [146, гл. П1, IV]. Случай двух степеней свободы изложен в [83]. [c.226]

Третье утверждение теоремы 1 доказывается с использованием теоремы о неявной функции. Будем искать решение уравнений [c.257]

Тем не менее, мы должны иметь ввиду, что нормализующее преобразование, как правило, расходится, и поскольку система (23) представляет собой лишь формальную систему дифференциальных уравнений, ряды (27) являются только формальными рядами. Однако, используя частичную нормализацию и некоторую модификацию абстрактной теоремы о неявной функции, мы можем доказать, что частичные суммы ряда (27) с достаточно большими номерами хорошо аппроксимируют частные решения системы, нормализованной до достаточно высокого порядка, стремящиеся к тривиальному положению [c.100]

В этом случае согласно теореме о неявной функции соотношение Рп = = дЬ/дхп разрешимо относительно ж = Vn x, р, t). Преобразованием Лежандра функции Ь(ж, ж, i) по ж является функция [c.251]

Доказательство этой теоремы (а также более общей) можно найти в [119]. Основная техника, используемая в доказательстве - это метод инвариантных многообразий. Суть доказательства лежит в применении теоремы о неявной функции. [c.71]

НКК симметрична относительно обеих осей координат (после переноса из полосы П в полосу П), пересекает обе оси под прямым углом и только два раза (по теореме о неявной функции). Тем самым предложение доказано. [c.96]

Qy не обращается в нуль в точке Мд (а, Ь). Для определенности предположим, что P jf ( , Ь) ф 0. Так как Р а, Ь) О, то по теореме о неявных функциях из соотношения Р (х, у) = О мы найдем в окрестности точки Мд (а, Ь) у как функцию х. Функция у = ff(x) является аналитической и при этом ф (х ) = Рассмотрим функцию F (х) = = Q (х, Ц) (х)). Она обращается в нуль при бесчисленном множестве значений [c.137]

ЛЕММА АДАМАРА И ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ [c.533]

Гпредполагается, что выполнены условия теоремы о неявной функции и поэтому определены функции у=у(Ь), х=х(Ь)1- [c.128]

Таким образом,, теорема о неявных функциях устанавливает, что при выполнении условий 1) - 3) решение системы (В.1.5) в некоторой окрестности В точки [Х(о) >Ро] образует единствен кривую К, которая имеет параметрйческое предстшление (В.1.4) и проходит через точку [АГ(о),-Ро]- Чтобы получить теперь решение Х у системы (В.1.2) при близком к Ро значении Pi, мы можем продвинься вдоль 1 . При этом, конечно, точка, Pi] должна остаться внутри окрестности Иными словами, мы можем из точки Г- (о),Ро1 однозначно продолжить решение в пределах окрестности В. Если условия 1) — 3) выполняются в точке [ (1) t i ] > то решение снова можно продолжить, и т.д. Таким образом, условия 1) 3) достаточны для того,, чтобы решения системы (В.1.2). образовали в непрерывную кривую К. А это позволяет [c.13]

Легко также выяснить причину невынолнения теоремы о неявных функциях в том случае, когда линии данного семейства касаются линий направляющего семейства. Предположим для простоты, что изобара замкнута и перемещается, не меняя формы, и что направляющее семейство состоит из прямых, параллельных оси абсцисс. Если изобара имеет составляющую движения, параллельную оси ординат, то точка касания через бесконечно малое время или совершенно сойдет с данной прямой направляющего семейства, или разделится на две точки. Этот факт и приводит к нарушению условий теоремы о неявных функциях. [c.193]

На основании теоремы о неявных функциях мы можем утверждать, что ре-nienne этой системы, и притом единственное, суш,ествует для окрестности всякой комбинации значений ж, у, t, для которой выполняется условие [c.257]

Член Pq (w) в правой части представляет собой возмущающую функцию, которая равна нулю при оу = О, т. е. в точке нахождения малой планеты массы v при этом, однако, левая часть вырождается. Подставив в уравнение(6) Pq (w) = О, получим после поворота z = уравнение (2). Таким образом, уравнение (6) оказывается близким к уравнению интегрируемой кеплеровой задачи для малых w, даже когда величина fx = 1 — v не мала. В данном случае наиболее важным моментом вновь является применение условий периодичности (3) после замены х наоу, так как тем самым гарантируется, что якобиан относительно невозмущенного эллиптического решения л (/) не будет равен нулю. Приводить, однако, условия (3) к виду (5) бесполезно, так как в настоящих обстоятельствах нельзя рассматривать х как малый переменный параметр — теперь эта величина фиксирована и близка к единице. Несмотря на это, мы можем разрешить (3) с учетом (4) относительно Т и rjg, как и в случае уравнения (5), с помощью теоремы о неявных функциях, если воспользуемся следующим приемом. [c.98]

Доказательство этого факта основано на применении абстрактной теоремы о неявной функции. Тем не менее, если векторное поле 1у х) аналитично, и если —1 — единственное собственное значение матрицы Ковалевской вида —ак, к = 1,2,..., указанные ряды сходятся на бесконечном полуинтервале [Т,+ос), и, более того, мы можем построить бесконечно-листную риманову поверхность, на куске которой соответствующее региение (1) голоморфно [6]. Более точно, необходимое региение может быть получено в виде ряда [c.95]

Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр (соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с взаимодействием переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Для доказательства факта асимптотичности построенных рядов необходимо применять теорию, принадлежащую А.П. Кузнецову [14, 15]. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов (10), то она обладает настоящим гладким решением для которого (10) дает асимптотическое разложение. [c.102]

Формальный аспект доказательства основан на том простом факте, что если решение х 1) может быть разложено в ряды (10), все его сдвиги х 1 — 11),..., х 1 — 1о) могут быть переразложены в аналогичные ряды с тем же самым главным членом. Для того, чтобы доказать, что ряды (10) являются асимптотическим разложением для некоторого фактического решения, нужно использовать технику абстрактной теоремы о неявной функции. Полезно заметить, что в случае произвольного знака запаздываний (например, для систем опережающего типа) ряды типа (10) тоже могут быть формально построены, но теорема о неявной функции в этой ситуации неприменима, и не представляется возможным заключить, описывают ли они какое-либо настоящее решение рассматриваемой системы. [c.106]

По теореме о неявной функции это уравнение имеет в мало11 окрестиости точки О решение г/ = Ф х), где ф (ж) — аналитическая функция, удовлетворяющая условиям [c.378]

Это веносредственно вытекает из теоремы о неявных функциях (см. дополнение 4, п. 3). [c.386]

Смотреть страницы где упоминается термин Теорема о неявных функциях : [c.474] [c.183] [c.11] [c.25] [c.35] [c.231] [c.96] [c.99] [c.73] [c.220] [c.79] [c.80] [c.88] [c.91] [c.106] [c.220] [c.253] [c.112] [c.199] [c.181] [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...