Теоремы Корна

Факт, что 8 мнимое, не меняет существа рассуждения, приведшего к теореме Корна. [c.227]

И, естественно, будем иметь совершенно аналогичные неравенства для производных по /, и З/. Наконец, комбинируя, как уже говорилось, неравенства, полученные для ж У, с первой теоремой Корна, получим искомое неравенство вида [c.228]

Теоремы Корна. Мы начнем с установления предварительной леммы. [c.215]

Теорема 2.1. Если все корни характеристического уравнения системы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бт,1 ни были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения. [c.83]

Теорема 3.10.1. (Флоке). Пусть / , и p2 — корни характеристического уравнения монодромии и [c.240]

Предположим теперь, что корни характеристического уравнения монодромии кратные — Р- Согласно теореме Флоке будем [c.243]

Рассмотрим теперь случай кратных корней уравнения монодромии. Согласно теореме 3.10.2, резонанс в этом случае отсутствует тогда и только тогда, когда одновременно выполнены равенства [c.248]

Если условие первого пункта теоремы выполнено, то / ыф) < 0, и не попадает в интервал между корнями и и 2- Угловая скорость прецессии сохраняет знак. На параллелях 1 1 и 1 2 производная й обращается в нуль. Кривая, описываемая точкой г и заданная параметрически и 1), ф t), гладко касается )тих параллелей. Первый пункт теоремы доказан. [c.483]

Как и следовало ожидать, один из корней /(гг) равен uq. Кроме того, tio = ti, , и значит, о = ti2. На параллели о имеем точки возврата (случай 2 теоремы 6.8.1). Корень ui находится из уравнения [c.488]

Теорема 8.8.2. (Сильвестр). Все корни уравнения частот вещественны и совпадают с собственными значениями оператора С. [c.574]

Теорема 8.10.2. Различным корням характеристического уравнения соответствуют линейно независимые ненулевые собственные фазовые векторы. [c.594]

Теорема 8.10.3. Пусть матрица В положительно определена. Тогда все корни характеристического уравнения системы с гироскопическими силами суть мнимые числа. [c.596]

Теорема о действительности корней уравнения частот доказана. [c.234]

По теореме Гурвица ) все корни многочлена [c.262]

Теперь рассмотрим свойства невозмущенного движения при различных предположениях относительно корней характеристического уравнения. Рассмотрим три теоремы А. М. Ляпунова ). [c.335]

Теорема I. Если характеристическое уравнение (II. 334) имеет лишь корни с отрицательными действительными частями, невозмущенное движение устойчиво и, к тому же, так, что каждое возмущенное движение, для которого возмущения достаточно малы, асимптотически приближается к невозмущенному. [c.335]

Теорема И. Если характеристическое уравнение имеет корни с отрицательными действительными частями, то, какими бы ни были остальные его корни, для невозмущенного движения существует некоторая условная устойчивость. А именно, в случае существования к таких корней это движение будет устойчиво для возмущений, удовлетворяющих некоторым п — к уравнениям вида [c.336]

Теорема III. Вели между корнями характеристического уравнения встречаются корни с положительными действительными частями, то невозмуш,енное движение неустойчиво. [c.337]

Но в случае отрицательных Л) корнями характеристического уравнения являются действительные числа Следовательно, на основании теоремы [c.344]

Как видно, уравнение (3) одинаково с уравнением движения маятника при неограниченней амплитуде, в котором члены правой части выражают постоянный крутящий момент и демпфирующую силу. Таким образом, изменение фазы имеет колебательный характер, пока амплитуда не слишком велика, причем допустимая амплитуда составляет п, когда выражение в первых скобках в правой части равно нулю, и стремится к нулю, когда это же выражение стремится к V. По теореме для адиабатного процесса амплитуда должна изменяться обратно пропорционально корню четвертой степени из Eq, поскольку Ео играет роль медленно изменяющейся массы в первом члене уравнения при уменьшении частоты последний член правой части обусловливает дополнительное затухание. [c.412]

Выполнение неравенства (5.382) проверяется методом от противного. Неравенство (5.383) является следствием неравенства Корна для каждого из тел Q . Шестое условие теоремы было установлено выше. [c.295]

Неравенства Лихтенштейна. Теоремы Корна дают нам ценные неравенства, касающиеся потенциалов, рассматриваемых, главным образом, как функции точки, в которой вычисляются эти потенциалы. Как показал. Нихтеяштейн (loe. it.) другого рода неравенства будут играть существенную роль, а именно те, где область интегрирования является переменной в частности представляет интерес характер зависимости потенциала от изменения области интегрирования. Мы здесь получим результаты, которые будут нам полезны в дальней-1П6М. [c.224]

Так как плотности удовлетворяют условиям (б о N), то в силу теоремы Корна для V, выполняются условия ((72 Р) и тозке для Следовательно, можно получить желаемые неравенства (2) или Щ ( AQ), и именно последнее простой записью аналогичных неравенств, касающихся разностей [c.225]

Легко, наконец, показать, что ( , г , ьи) обладают первыми и вторыми производными, из которых последние удовлетворяют условиям ((7д1Л). Это выводится просто применением теоремы Корна для производных, взятых только по координатам. Посмотрим, что происходит с производными, в которые входит 1, и для этого остановимся, напри- [c.236]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Согласно первой теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями ( ), устойчиво, если все корни характеристического уравпейия (13 ) имеют отрицательную вещественную часть. В этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (11 ) не влияют на устойчивость движения. [c.652]

Согласно второй теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями (1 ), неустойчиво, если среди корней характеристического уравнения (13 ) имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. И в этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (1С ) не могут влиять на устойчивость движения. [c.652]

О знаке корней характеристического уравнения можно сз днть на основании теоремы Гурвица, которая формулируется следующим образом. Уравнегше д-й степени с вещественны.ми коэффициентами [c.653]

Теорема 2.2. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дяффереттпиальных уравнениях возмущенного движения. [c.83]

Теорема 2.3. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю, то Щ1ены высших порядков в уравнениях возмущенного движения можно выбрать так. чтобы получить по желанию как устойчивость, тате и неустойчивость. [c.83]

Согласно теоремам, изложенным в 1, для решения вопрюса об устойчивости по первому приближению необходамо исследовать знаки вещественных частей корней характеристического уравнения (2.11). Без ограничения общности можно считать, что коэффициент До > О- [c.99]

Нели хотя бы одно из неравенств (2.53) имеет противоположный мь J , то уравнение (2.11) имеет корни с положительными веществеи-Н1.1МИ частями. В этом случае из теоремы 2.2 следует т1еустойчивость невозмущеитюго движения. [c.100]

Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инерции относительно оси, проходящей через точку О парал.чельно вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллельный вг при любом г, будет таким же, каким он был в центр<гльном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не коллинеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направ.чении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен вг, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде [c.55]

Аналогично доказываетея эта теорема для случая наличия комплексных корней характеристического уравнения с положительными действительными частями ). Случай наличия кратных корней с положительными действительным частями А. М. Ляпунов не рассматривал. Очевидно, заключение о неустойчивости движения сохраняется и в этом случае. [c.338]

Следовательно, характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни. Теоремы I—III не позволяют сделать заключение об устойчивости движения, хотя движение устойчиво в нервом приб.лНжении. [c.339]

Теорема. Если все корни характеристического уравнения (3) имеют отрицательные вещественные части, то неволмуи енное движение асимптотически устойчиво )ьезависимо от нелинейных членов в (1). Если же среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то пс-воямущенное движение неустойчиво — тоже независимо от нелинейных членов в (1). [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...