Изгибания поверхностей нулевой кривизны

ИЗГИБАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 217 [c.217]

Изгибания поверхностей нулевой кривизны [c.217]

Кроме цилиндров и конусов, к поверхностям нулевой кривизны принадлежат так называемые поверхности касательных, представляющие собой геометрическое место касательных к произвольной пространственной кривой ). Цилиндром, конусом и поверхностями касательных исчерпываются все поверхности нулевой кривизны, которые называются также торсами и развертывающимися поверхностями (последнее название связано с тем, что эти поверхности и только они могут быть с помощью непрерывных конечных изгибаний развернуты до совпадения с плоскостью). Отнесем произвольную поверхность нулевой кривизны к линиям кривизны а , а ) и найдем, какой вид при этом будут принимать коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны. [c.157]

В настоящем разделе на основе теории изгибания поверхностей нулевой гауссовой кривизны устанавливаются зависимости между основными величинами, определяющими изометричные отсеки эвольвентного (развертывающегося) геликоида. [c.152]

Одним из простых и вместе с тем чрезвычайно важных следствий этого положения является то, что из всех поверхностей только поверхности нулевой гауссовой кривизны могут быть путем изгибания превращены в плоскость, так как гауссова кривизна плоскости равна, очевидно, нулю (в связи с этим поверхности нулевой гауссовой кривизны часто называются развертывающимися). Наоборот, никакая часть такой поверхности, как, например, сфера, не может быть без сморщиваний и разрывов превращена в часть плоскости. [c.22]

Пусть для некоторой оболочки (не обязательно нулевой кривизны) поставлена полная краевая задача безмоментной теории, заключающаяся в том, что на каждом краю сформулированы по два идеализированных тангенциальных граничных условия, среди которых, вообще говоря, будет находиться и некоторое число геометрических условий. Тогда можно ввести важное для дальнейшего понятие о возможных изгибаниях, подразумевая под этим такие изгибания срединной поверхности, которые удовлетворяют всем однородным тангенциальным геометрическим граничным условиям данной полной краевой задачи безмоментной теории. В число тангенциальных граничных условий задачи могут и не входить геометрические граничные условия. Тогда возможными надо считать все изгибания, которые имеет срединная поверхность оболочки, когда ее кр.ая ничем не стеснены. В дальнейшем выяснится, что с прочностной точки зрения наиболее выгодны (они Чаще всего и применяются на практике) те оболочки, в которых тангенциальные геометрические граничные условия обеспечивают жесткость срединной поверхности, т. е. не допускают каких бы то ни было ее изгибаний. В таких случаях будем говорить, что возможные изгибания равны нулю. [c.219]

Поясним понятие о возможных изгибаниях на примере консольной оболочки нулевой кривизны. Если края такой оболочки проходят вдоль поперечных сечений, то для полной краевой задачи тангенциальные граничные условия формулируются в виде четырех равенств (15.17.1), из которых к геометрическим граничным условиям относятся два последних равенства. Они совпадают с граничными условиями (15.20.4) и, как было показано выше, обеспечивают жесткость срединной поверхности. Это значит, что для консольной оболочки нулевой кривизны возможные изгибания равны нулю. [c.219]

В теории изгибаний показано, что незамкнутая поверхность со свободными краями не является жесткой. Поэтому согласно теореме о возможных изгибаниях соответствующая полная краевая задача безмоментной теории не должна, вообще говоря, иметь решения. Это подтвердилось на примере замкнутой оболочки нулевой кривизны, рассмотренной в 15.24. При этом выяснилось, что в данном случае теорема о возможных изгибаниях полностью выполняется. [c.262]

В теории поверхностей доказывается, что возможность изгибания поверхностей без растяжения тесно связана со знаком гауссовой кривизны. Условия, при которых свобода изгибания исключается, будут различными для поверхностей положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. [c.22]

Наконец, если во всех точках поверхности /С = О, то она называется поверхностью нулевой гауссовой кривизны (цилиндр, конус), Поверхности с /С = О являются развертывающимися — они могут быть при помощи изгибания превращены в плоскость и имеют с последней одинаковую внутреннюю геометрию. [c.23]

Если, предположив, что поверхность выполнена из гибкого нерастяжимого (несжимаемого) материала, подвергать эту поверхность изгибаниям, то в каждой точке поверхности главные кривизны и ki будут изменяться гауссова же кривизна будет сохранять свое значение. Таким образом, совместить за счет изгибания сферическую и цилиндрическую поверхности нельзя, так как у первой К всюду будет сохранять свое положительное значение, а во второй — нулевое. [c.23]

Равенство (5.62)j показывает, что гауссова кривизна поверхности не зависит, по существу, от кривизны поверхности (величин bij) и целиком определяется заданием метрики поверхности (величин aij). Поэтому все поверхности, переводимые друг в друга изгибанием (без растяжения), имеют одинаковую гауссову кривизну. Так, нулевую гауссову кривизну имеют все поверхности, развертываемые на плоскость. [c.262]

Края оболочки должны быть неасимптотическими. Это следует из рассмотрения консольной оболочки нулевой кривизны. В такой оболочке тангенциальные граничные условия обеспечивают жесткость срединной поверхности ( 15.20), и по теореме о возможных изгибаниях решение полной безмоментной краевой задачи должно было бы существовать при любой, достаточно гладкой, нагрузке. Однако в 15.17 показано, что это решение можно построить только тогда, когда оболочка не имеет продольных краев, которые в данном случае проходят вдоль асимптотических линий. Более того, результаты 15.19 показывают, что нельзя допускать даже касания края оболочки с асимптотической линией срединной поверхности. [c.220]

Если поверхность (любого знака кривизны) не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида (17.34.1) на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение (единственное) при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в 15.23 — для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. Оно, по-видимому, останется правильным и в самом общем случае. [c.261]

В этом случае некоторые теоремы существования решений полной краевой задачи безмоментной теории формулируется точно так же, как и для оболочки с одним краем. Примером могут служить оболочки, края которых жестко заделаны в обоих тангенциальных направлениях. Как уже говорилось в 17.34, решение полной задачи в этом случае существует и единственно при любой, достаточно гладкой нагрузке, независимо от числа краев (если только они неасимптотические) и даже независимо от знака кривизны срединной поверхности. По-видимому, сохраняется при любом числе краев также и теорема существования, обсужденная в 18.36 надо только требовать, чтобы все края оболочки были неасимптотическими и свободными в обоих нетангенциальных направлениях. Для оболочек положительной кривизны это следует из результатов работ [16—19], в которых теорема доказана при любом числе краев. В 15.24 показано, что теорема остается в силе для оболочек нулевой кривизны и не видно оснований предполагать, что исключение представят оболочки отрицательной кривизны. Более сложным является случай, когда гауссова кривизна оболочки меняет знак, так как при этом может иметь место касание с плоскостью вдоль замкнутой линии, что является нарушением условий теоремы о возможных изгибаниях ( 15.21). Вместе с тем не исключено, что теорема снова станет справедливой при отсутствии такого касания. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...