Накрывающее отображение

Используйте определение степени через объем и вычислите энтропию с помощью е-покрытий, учитывая тот факт, что / — накрывающее отображение. [c.745]

Пусть Г — конечная подгруппа 50(3). Рассмотрим ее прообраз Г сг5 /(2) при двулистном накрывающем отображении [c.28]

Задача 2-j. Неподвижные точки и сжимающие отображения. Для гиперболической поверхности 8 покажите, что голоморфное отображение 8 8 может иметь не более одной неподвижной точки, если только некоторая итерация не является тождественным отображением. (Случай накрывающего отображения 8 в себя требует особых предосторожностей.) [c.43]

Задача 8-с. Асимптотические значения. Для того, чтобы распространить теорему 8.6 на некомпактные римановы поверхности такие, как С или С 0 , нам понадобятся некоторые определения. Пусть f 8 8 — голоморфное отображение римановых поверхностей. Точка г 6 5" называется критическим значением, если она является образом критической точки, то есть точки, в которой первая производная функции / обращается в нуль. Точка называется асимптотическим значением, если существует непрерывный путь [О, 1) —8, который расходится к бесконечности в 8, или, другими словами, не содержится ни в одном компактном подмножестве 8, но образы которого при отображении / сходятся к точке V. Напомним два определения из 2 открытое множество и С 8 называется просто накрытым, если каждая компонента прообраза отображается гомеоморфно на II, и отображение / называется накрывающим отображением, если каждая точка из 8 имеет окрестность, которая просто накрывается при /. [c.111]

Чтобы показать, что тто - Е К С К является накрывающим отображением, рассмотрим любое односвязное открытое множество V С С К и любое 2, Е К такое, что го = тго(г) У. Поскольку каждое /° <С К С К является накрытием, существует единственная ветвь g . отображения / такая, что gk zo) = Выберем такое ко, что при к ко точки ги принадлежат линеаризующей окрестности или отталкивающему лепестку, и выберем меньшую окрестность V точки го так, чтобы образ g . y ) содержался в этой линеаризующей окрестности или в лепестке вместе со своим замыканием. Тогда отображения gk у, равномерно сходятся к нулю. В действительности, поскольку последовательность отображений gk у, очевидно, образует нормальное семейство, мы получаем более сильное утверждение о том, что последовательность g t у сходится к нулю локально равномерно. В противном случае, если бы ограничения g/. на некоторое компактное подмножество окрестности V имели бы ненулевую предельную точку, то можно было бы выбрать подпоследовательность, локально равномерно сходящуюся к ненулевому пределу. Это невозможно, так как предельная функция должна тождественно обращаться в нуль на V. Значит, с помощью соответствия [c.235]

Определение. Голоморфное отображение р 3 8 римановых поверхностей будет называться разветвленным накрывающим отображением, если каждая точка 5 имеет такую связную окрестность II, что каждая компонента связности р 11) отображается на II посредством собственного отображения. [c.286]

Регулярные разветвленные накрывающие отображения обладают рядом специфических свойств. Например, любая точка разветвления является изолированной, и значит множество всех точек разветвления является дискретным подмножеством 5. Кроме того, индекс ветвления п г) зависит только от образа / г), то есть п г1) = п г2), как только / гг) = /( г). Значит, можно определить весовую функцию V 8 1, 2, 3,. .. , полагая г/(го) равной общему значению п г) для всех 2 из прообраза / (го). По определению, г/(го) 2, если го — точка разветвления, и г/(го) = 1 в противном случае. [c.287]

Пусть V — произвольное вертикальное (касающееся слоев t ХС) векторное поле в расслоенном над произведении S x ХС. Усредним его по времени вдоль интегральных кривых предыдущего уравнения. Под этим понимается следующее. Поле v определяет поле v на универсальной накрывающей Rx пространства S x , переходящее в себя при сдвигах R на 2я. Фиксируем начальное сечение, скажем о ХС. Все пространство расслоения Rx отображается на это сечение так, что каждая фазовая кривая поля i(nzd/dz- -d/dt переходит в свою точку на начальном сечении. Это отображение переносит векторы накрывающего поля v в начальное сечение. В каждой точке начального сечения возникает периодически зависящий от t вектор. Усредняя его по t, получаем вектор усредненного по ля в рассматриваемой точке плоскости С. [c.57]

Доказательство. Сначала заметим, что существование вектора p(v ) и его независимость от точки х — свойство, инвариантное относительно сопряжения потоков. Пусть Л — гомеоморфизм и Я = I, + G — его поднятие на универсальное накрывающее где L — линейное отображение, а преобразование G периодическое. Пусть хеЖ я у — Н х). Тогда [c.486]

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами сопряженности подгрупп Г[(М) и классами накрытий по модулю гомеоморфизмов, коммутирующих с накрывающими преобразованиями. В частности, универсальное накрывающее пространство единственно. Это взаимно однозначное соответствие может быть описано следующим образом. Предположим, что (М, ir) — накрытие М и х. ir y). Так как многообразие М линейно связно, существуют такие кривые с [0,1]— М, что с( ) = х для = 1,2. Под действием тг они проектируются в замкнутые кривые на М. Любое непрерывное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп. Любое непрерывное отображение обладает поднятием, так что гомотопия цикла тг о с, сохраняющее точку jf, может быть поднята до гомотопии кривой с, и, так как по предположению множество у) дискретно, эта гомотопия сохраняет концы. В частности, гомотопные кривые проектируются в гомотопные кривые, и если положить X, = Х2, то фундаментальная группа пространства М вкладывается в фундаментальную группу М как подгруппа. Это подгруппа, соответствующая накрытию. Кроме того, эта подгруппа является собственной, если проекция тг не является гомеоморфизмом, т. е. накрытие нетривиально. Таким образом, у односвязного пространства нет нетривиальных собственных накрытий. Можно также показать, что любые два накрытия М, и многообразия М обладают общим накрытием М", так что универсальное накрывающее определено однозначно. Любое топологическое многообразие обладает универсальным накрывающим. [c.696]

Обход вдоль петли у, по свойству накрывающей гомотопии, порождает непрерывное семейство отображений такое, что Го=1(1 V,- V,. Оказывается, что семейство может быть выбранным согласованно со структурой прямого произведения dV—dV,y T, поэтому будем считать, что отображение h = T V,- V, тождественно на краю dV, неособого множества уровня V,. [c.55]

Замечание. Пусть В — универсальная накрывающая базы В. Естественное отображение В- -В индуцирует расслоение 3 - В из расслоения когомологий над В. Связность V в расслоении когомологий индуцирует связность в расслоении над В. Тогда многозначные ковариантно постоянные сечения расслоения когомологий—это в точности образы горизонтальных сечений индуцированного расслоения [c.93]

Обозначим через Н универсальное риманово накрывающее многообразие для Q. Согласно теореме Адамара—Картана любые две точки в Н можно соединить единственной геодезической, и для всякого хбН отображение ехр является диффеоморфизмом. Поэтому отображение [c.160]

В частном случае неподвижной точки г = / г) отображения, заданного на гиперболическом открытом подмножестве С заметим, что 11-0/г равна модулю первой производной / (г) = (1//(1г в классическом смысле. Поэтому для голоморфного отображения / В В такого, что /(0) = О, из леммы Шварца следует, что .0/о 1 и равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда / является конформным автоморфизмом. Более общо, если 8 8 — голоморфное отображение односвязных гиперболических поверхностей и р 5, то отсюда немедленно следует, что -0/р 1, и равенство соблюдается только если / является конформным изоморфизмом. Рассмотрим теперь случай, когда 8 и 8 необязательно односвязны. Выберем некоторое поднятие Р 8 8 — отображение универсальных накрывающих и некоторую точку р над р. Из коммутативной диаграммы [c.37]

Теперь заметим, что каждое Р порождает автоморфизм 71- 7 группы Г, удовлетворяющий тождеству , 07 = у оР . (См. задачу 2-Ь. Поскольку оба отображения 07 и Р накрывают одно и то же отображение поверхности 8 в себя, то существует некоторое накрывающее преобразование 7, переводящее Р о 7( в Р , и легко проверить, что 7 не зависит от выбора р 8.) Следовательно, [c.80]

Предположим для определенности, что Т = С/Л здесь Л С С — решетка, натянутая на два числа 1 и т, где т Е. Любое голоморфное отображение f Т Т поднимается до голоморфного отображения Р С —С на универсальном накрывающем пространстве. Заметим вначале, что существует элемент решетки а 6 Л такой, что [c.85]

Можно предполагать, что Р содержит, по крайней мере, три различные точки. В противном случае II могло бы быть сферой с двумя выколотыми точками, и тогда его накрывающее пространство V было бы также сферой с двумя выколотыми точками, то есть совпадало бы с и. Отсюда бы легко вытекало, что / сопряжено отображению вида 2 -> 2 , без точек Кремера и дисков Зигеля. [c.165]

Замечание Другой вариант этого доказательства может быть основан на том, что отображение должно подниматься до однозначного отображения Р универсальной накрывающей поверхности V в себя. Тогда Р должно уменьшать расстояния в метрике Пуанкаре на У, следовательно, / должно увеличивать расстояния в метрике Пуанкаре на У. Ср. доказательство теоремы 19.6.) [c.241]

Пусть N° С Ш) — диск радиуса г в метрике Пуанкаре с центром в какой-либо точке единичного диска. Если S — универсальпое пакры-тие S, то после композиции подходящего изоморфизма Ш) = 5 с проекцией S S можно построить накрывающее отображение fj-.ID S такое, что /, (0) = pj. Очевидно, что N pj) может рассматриваться как образ fj N°) этого стандартного диска. [c.50]

Покажите, что односвязное открытое подмножество 8 просто накрыто отображением / тогда и только тогда, когда оно не содержит критических или асимптотических значений. (Ср. Голдберг и Кин.) В частности, / является накрывающим отображением тогда и только тогда, когда 8 не содержит критических и асимптотических. чначений. [c.111]

Индексом вращения кольца А в Т будем называть элемент рещетки W е Л, построенный следующим образом. При универсальном накрывающем отображении С Т центральная окружность А поднимается в криволинейный отрезок, соединяющий некоторую точку zq с точкой Zo + гю, где гю — искомый элемент рещетки. Будем говорить, что А С Т существенно вложенное кольцо, если ги ф 0. [c.267]

Голоморфное отображение р 8 8 римановых поверхностей называется накрывающим отображением, если любая точка 5 имеет связную окрестность II, которая накрыта просто, то есть любая компонента связности р 11) С 8 отображается на II посредством конформного изоморфизма. Отображение р 8 8 называется собственным, если прообраз р К) любого компактного подмножества 8 — компактное подмножество в 8. Заметим, что каждое собственное отображение конечнолистно и имеет корректно определенную конечную степень (1 1. Такое отображение называется также -листным накрытием. С другой стороны, накрывающее отображение может и не быть взаимнооднозначным. Объединив эти два понятия, получаем следующее, более общее понятие. [c.286]

Если на поверхностях 8 и 8 заданы весовые функции //иг/, соответственно, будем говорить, что разветвленное накрытие 8 8 является накрывающим отображением орбифолдов (5", ц) 8, и), если для всех г 8 выполнено следующее равенство [c.288]

При рассмотрении степени отображений окружности было установлено, что понятие степени может использоваться для доказательства существования (большого количества) периодических точек. По существу мы подсчитывали число точек пересечения графика нашего отображения со сдвинутой диагональю в произведении К х Й универсального накрывающего пространства на себя. Более сложный вариант того же соображения пригоден в большей общности и использует в качестве главного инструмента понятие индекса неподвижной точки. Мы имеем в виду формулу Лефшеца, связывающую действие отображения / на группах гомологий с суммой индексов неподвижных точек. Эта формула описывает глубокую связь между глобальным поведением отображения, проявляющимся при действиях на группы гомологий, и локальным поведением в неподвижных точках, представляемом их индексом. В частности, если известно, что индексы неподвижных точек не могут быть большими (например, благодаря теореме Шуба — Сулливана), мы, таким образом, получим нижнюю границу для числа неподвижных точек и, следовательно, для числа периодических точек итераций отображения /. [c.333]

Если закручивающее отображение определено на замкнутом цилиндре С= 5 X Ю, 1], то можно определить полный интервал закручивания, т. е. интервал (Тд, т,), где и т, —числа вращения (см. определение 11.1.2) сужения отображения / на множества S" х 0 и S" х 1 , подсчитанные для одного и того же поднятия этого отображения на универсальное накрывающее. Это множество может оказаться большим, чем определенный выше интервал закручивания. Однако в случае, когда сужения отображения на компоненты границы являются вращениями, эти множества равны. Мы обсудим этот факт подробнее в упражнении 13.2.6, после того как введем понятие числа вращения. [c.356]

В этом параграфе будет доказано, что любая сохраняющая порядок орбита закручивающего отображения может быть отедставлена как часть графика липшицевой функции, причем константу Липшица этих функций можно зафиксировать в любом замкнутом кольце в х (0,1). Как и в 9.3, мы будем часто переходить к поднятиям на универсальное накрывающее. [c.426]

Используя предложение 14.2.1, введем замкн ую трансверсаль г к потоку V . По предложению 14.2.2 получаем С-диффеоморфизм h — —> Т , который отображает т в стандартную горизонтальную окружность То = S X 0 = (s, 0) I S е K/Z (мы используем аддитивное представление). Покажем существование предела (14.7.1) для потока hotp о h . Так как каждая точка возвращается на т,, и время возврата ограничено, достаточно показать существование предела для точек из tq. Кроме того, по той же причине достаточно рассмотреть только последовательность моментов t (s) возвращения на Тц. Обозначим отображение возвращения на г через / и его поднятие на К х 0 через F. Заметим, что на универсальном накрывающем возврат на Тц соответствует изменению второй координаты на 1 или -1 без потери общности мы рассмотрим только первый случай. Тогда Ф < >(в,0) = (F"(s), п). Заметим, что t s)=t(s)- -t f s))- -... -bi(/ - (s)), где t s) —время возвращения на тц. Используем существование числа вращения для S, т. е. существование предела lim F" s)/n = r f), и строгую [c.486]

М —fM непрерывно и таково, что foir = ToF, то F также называется поднятием f. Односвязное накрывающее пространство называется универсальным накрывающим. Гомеоморфизм накрытия М пространства М называется накрывающим преобразованием, если он является поднятием тождествеиного отображения М. [c.696]

Примеры. Пространство ( , ехр(2тп( ))) — накрывающее единичной окружности. Геометрически можно представить себе это накрытие как спираль i), накрывающую единичную окружность при проектировании. Аналогично, отображение, определенное взятием дробной части, определяет накрытие окружности M/Z пространством R. Тор накрывается цилиндром, который, в свою очередь, накрывается плоскостью R . Отметим, что фундаментальная группа Z цилиндра является подгруппой фундаментальной группы тора (Z ), а пространство R представляет универсальное накрывающее обоих пространств, Pa тягивaюш e отображения окружности (1.7.1) определяют иакрытия окружности окружностью. Факторы верхней полуплоскости Пуанкаре накрывак тся верхней полуплоскостью (пп. 5.4.В, 5.4.д). [c.696]

Пусть М = R /Z — тор, я R -vAi — естественная проекция. Поток естественным образом поднимается в R , т. е. там однозначно определен накрывающий поток / , являющийся расширением потока f при отображении я. Пусть L — положительная полутраектория потока g- , i= (x(t), — любой ее прообраз на R являющийся полутраекторией потока / . Если x (t) +y (t)- oo при то существует конечный или бесконечный предел v(L) =limi/(t)/x(i), он не зависит от [c.232]

Зафиксируем неособое значение Я..6Л и соответствующий му неособый слой У,. Расслоение Милнора по свойству накрывающей гомотопии определяет представление фундаментальной группы базы Я1 (Л, Я,.) в группу гомотопических классов отображений V.- V. неособого слоя в себя. [c.71]

Конформно гиперболический случай. Если 8 гиперболично, то Р должно либо сохранять, либо уменьшать метрику Пуанкаре на этой универгальпой накрывающей поверхности. Если бы Р сохраняло метрику на 8, , то / сохраняло бы орбифолдную метрику на 8, г/), и отсюда следовало бы, что каждая периодическая точка отображения / в 5 должна была быть нейтральной, что невозможно. Следовательно, Р должно сжимать метрику, а / должно растягивать метрику. Из компактности J следует, что ЦДРгоЦ 1/к < 1 всякий раз, когда т 8 проектируется в подходящим образом выбранную окрестность IV из J. Значит, /г к > 1 для каждого такого г 6 IV, что г и /(г) не являются точками ветвления. [c.250]

Х 8, ц) х 8, г/), где равенство имеет место только если 8 = 8 VI рь = и. Но, согласно лемме Е.2, поскольку отображение / 8, р) (8, и) является й-листпым накрытием орбифолдов , оно порождает изоморфизм 8 81, универсальных накрывающих поверхностей, и в этом случае формула Римана-Гурвица принимает вид [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...