Зундман

Столкновение двух частиц возможно и при б > 0. После такого столкновения частицы движутся так, как описано в 5.6. (В течение короткого промежутка времени, включающего момент столкновения, влияние третьей частицы пренебрежимо мало по сравнению с взаимным притяжением сталкивающихся частиц, и в течение этого промежутка времени задача фактически становится задачей двух тел.) Особенности в формулах, соответствующие столкновению двух частиц, не являются существенными они могут быть устранены посредством надлежащего выбора новой независимой переменной. Этот результат содержится в известной работе Зундмана 1912 г. Зундман показал, что координаты трех частиц и время могут быть представлены в виде функций комплексной переменной т, регулярных внутри единичного круга т = 1. Координаты при этом определяются степенными рядами по т, сходящимися для всех значений времени. Единственным случаем, на который эта теория не распространяется, является случай тройного столкновения. [c.597]

Последним крупным успехом небесной механики перед Октябрьской революцией было создание новых методов исследования дифференциальных уравнений движения при помощи теории функций комплексного переменного, осуществленное Т. Леви-Чивитой и К. Зундманом и дополненное некоторыми другими учеными. [c.332]

Развитие аналитической теории дифференциальных уравнений позволило дать еще одну трактовку проблеме интегрируемости в небесной механике. Если можно найти решение дифференциальных уравнений задачи небесной механики в виде рядов, сходящихся для любых априорно заданных параметров системы (массы тел, начальные условия и др.), то данную задачу также можно отнести к интегрируемым задачам. Для задачи трех тел такое решение найдено Зундманом (см. 2.05). Основные трудности, которые возникают при отыскании решения в виде степенных рядов, связаны с устранением особенностей в дифференциальных уравнениях, возникающих из-за возможности столкновения двух или большего числа тел (см. 2.04). [c.811]

Таким образом, для исключения тройного соударения в задаче трех тел следует считать, что с фО. Именно в этом предположении, конечно, не исключающем двойных соударений в задаче трех тел, Зундман исследовал характер последних и оценил величины кинематических и динамических параметров системы (прежде всего взаимные расстояния и относительные скорости). Зундманом, в частности, доказаны следующие утверждения. [c.819]

Эти соображения позволили Зундману преодолеть математические трудности, возникающие из-за возможных двойных соударений в уравнениях движения задачи трех тел. Зундман не нашел необходимые и достаточные условия отсутствия всяких соударений в задаче трех тел, но, изучив характер соударений с помощью метода регуляризации независимой переменной, устранил эти особенности в дифференциальных уравнениях задачи трех тел. [c.820]

ТО отсюда вытекает, что ряды, построенные Зундманом для задачи трех тел, сходятся для всех вещественных значений времени /. [c.821]

Этот результат принадлежит Зундману (1913 г.) он следовал более ранним работам Пуанкаре и Вейерштрасса, в которых были получены разложения решений задачи п тел в сходящиеся ряды по степеням вспомогательной переменной ш при отсутствии соударений. Что касается возможности соударений, то в задаче трех тел они бесконечно редки с помощью теоремы [c.73]

Зундманом была доказана важная теорема позднее выяснилось, что эта теорема была известна Вейерштрассу, но не была им доказана. Теорема гласит [c.46]

Из всего хода вывода очевидно, что можно найти весьма простое выражение для С21 в виде функции от А и т . Это выражение также было найдено Зундманом. [c.85]

Необходимо заметить, что в исследованиях Зундмана теорема доказана в несколько иной формулировке, так как там вместо в стоит вспомогательная переменная, определенная другим образом. Интересующийся этими вопросами читатель может легко установить, что обе формулировки качественно совершенно равнозначны. Впрочем, Зундманом были даны явные оценки для входящих здесь постоянных, в то время как мы от этого в целях сокращения отказались. [c.97]

Задача трех тел исключительно сложна и в общем случае, т. е. когда массы тел могут быть любыми, она по существу не получила и доныне своего решения. Правда, в начале текущего века финляндский математик Зундман вывел формулы, выражающие положение всех [c.16]

В 1912 г. финский математик Зундман нашел в результате глубоких исследований аналитическое решение задачи трех тел в виде бесконечных рядов, но впоследствии выяснилось, что для вычисления с современной точностью координат точек по формулам Зундмана необходимо брать сумму огромного числа членов ряда —ряды крайне медленно сходятся. В силу этого исследования Зундмана представляют чисто теоретический интерес. [c.160]

Приведенное выше замечание Вейерштрасса интересно тем, что знаменитая работа С. В. Ковалевской и решает частный случай задачи о движении твердого тела именно в том виде, как намечал Вейерштрасс. Та же идея с большим успехом была использована Пуанкаре и позднее Зундманом в их исследованиях по задаче трех тел ту же идею параметрического решения задачи с успехом применял С. А. Чаплыгин в работе по движению тел с неголономными связями и Н.Е.Жуковс-ким в его видоизменении метода Кирхгофа. [c.19]

Предполагая начальные условия общей задачи трех тел совершенно произвольными, но считая произвольные постоянные интегралов площадей не равными одновременно нулю, Зундман нашел регуляризирую-щее преобразование и ь результате получил безупречное математически решение задачи трех тел в виде рядов, расположенных по степеням некоторой вспомогательной переменной и абсолютно сходящихся при всех значениях времени, каковы бы ни были соударения между какими-либо двумя из трех тел. [c.333]

Если полярный кинетический момент отличен от нуля, то в задаче трех тел единственными особенностями могут быть лишь парные столкновения. Как показал Зундман (К. Г. 5ип(1тап), функции Гк(и) (1<А <3) голоморфны в некоторой полосе 1ти < комплексной плоскости ыбС, содержащей действительна ось. Отобразим теперь эту полосу конформно на единичный круг (1) <1 преобразованием [c.73]

Отклонившись от терминологии Шази, я не вполне удачно назвал эти движения в [10] устойчивыми по Лагранжу . В фазовом пространстве соответствующие решения могут оказаться неограниченными, при регуляри.чации парного столкновения по. Зундману скорости продолжаются черед бесконечность. [c.135]

В ближайгпих параграфах будут даны основы для доказательства нагпих эвристических результатов. Нельзя найти особую точку I = применяя только теорему существования Когпи и вводя в уравнения движения задачи трех тел вместо t новую независимую переменную Л. Это не удастся хотя бы потому, что по крайней мере одно д при 5 = 0 обязательно имеет особенность. Если высказанные нами ранее предположения верны, то величины, получающиеся из х, у, 1 и из з, уз, 3 преобразованием обратных радиусов, будут при Л = О регулярными. Зундману с помощью введения в дифференциальные уравнения таких новых переменных удалось прийти к желаемой цели. [c.54]

В частности, анализ ограниченной задачи трех тел часто (хотя и не всегда) позволял догадываться о некоторых результатах для общей задачи трех тел. Например, регуляризация в ограниченной задаче (Тиле и Бурро, Леви-Чивита, см. 446—452) предшествовала регуляризации в общей задаче трех тел в случае парных столкновений (Зундман, Леви-Чивита, см. 415—420). [c.428]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...