Предельный континуум для положительной

Мы будем говорить также, что данный континуум Ка, является со-предельным с положительной стороны, без упоминания о том, для какой полутраектории, подразумевая под этим, что континуум К является (в силу замечания к теореме 68) со-предельным континуумом для всех траекторий, пересекающих дугу без контакта I, проведенную через точку [c.416]

Множество К всех предельных точек полутраектории L+ называется предельным множеством или предельным континуумом L+. В случае положительной (отрицательной) полутраектории это множество называют также (о-предельным (а-предельным) множеством или континуумом. Аналогично множество всех а (ш)-предельных точек траектории L называют а (ш)-предельным континуумом траектории L. Для обозначения предельных континуумов траекторий или полутраекторий мы будем иногда пользоваться символами К а и К , или Ка (L) и К а, (L). [c.106]

К — 05-, а- или О-предельны континуум. В согласии с предыдущим мы будем называть континуум К односторонним , если он является предельным только с одной, с положительной или отрицательной стороны и двусторонним , сели он является предельным как с положительной, так и с отрицательной стороны (очевидно, для различных траекторий). [c.435]

Теорема 68 ). Пусть одна из отличных от состо.яни.ч равновесия траекторий континуума ЛГщ (и-предельна для Ь+ с положительной отрицательной) стороны. Тогда все входящие в Ка, отличные от состояния равновесия траектории являются продолжением одна другой с положительной отрицательной) стороны, аз-пре-дельны для Ь с положительной стороны и могут быть перенумерованы так, что всякие две последовательные в этой нумерации траектории, а также последняя и первая траектории являются аз-продолжением друг друга с положительной отрицательной) стороны. [c.414]

Доказательство. Пусть N — число отличных от состояний равновесия траекторий, входящих в состав континуума К ,. Пусть Ьу — одна из этих полутраекторий и пусть для определенности Ьу (О-предельна для полутраектории с положительной стороны. [c.414]

В дальнейшем для определенности всегда будем рассматривать предельный континуум Ка, положительной полутраектории. Все резулг таты, касающиеся континуума Ка>, конечно, справедливы с надлежащими совершенно очевидными изменешюми и для предельного континуума Кд, отрицательной полутраектории. Поэтому для континуумов мы эти результаты выводить и даже формулировать не будем. [c.412]

Точка полутраектории расположенная на части АВ дуги / в (Л/ц), где 6 — некоторое положительное число, а Мг — последующая для Л/, точка (ыа дуге I). Очевидно, точка М2 лежит на дуге ближе н Л/,,, чем точка М,. Рассмотрим замкнутую кривую С, состоящую из дуги полутраектории Ь+ и части М,М2 дуги I. В силу леммы 14 3 одна из кривых С и / 0 ле кит внутри другой, и обе эти кривые ограничивают некоторую область Г. В силу замечания 1 к той же лемме 14, если б достаточно мало (т. е. если точка достаточно близка к М ), область Г целиком лежит в и . Ьо). И, наконец, из леммы И 3 (утверждение а)) вытекает, что полутраектория (начипая с точки М2) целиком расположена в области Г. Но тогда и все предельные точки полутраектории т. е. предельный континуум (Ь+), лежат в II(/--о)- [c.112]

Односторонняя каноническая окрестность предельного континуума. Рассмотрим отличный от состояния равновесия и-предельный континуум, причем для определенности предположим, что он является ю-предельным с положительной стороны. Пусть АГ+ — этот континуум. Проведем через какую-нибудь точку Р какой-нибудь отличной от состояния равновесия траектории входящей в состав конт1шуума АГ+, дугу без контакта I, содержащую точку Р внутри (кроме точки Р дуга без коптакта I не может иметь общих точек с континуумом К, см. лемму 2, следствие 1 3). [c.424]

Пусть теперь — 0-предельпы1Г континуум (для оиределенности предполагаем его О-предельным с пололахтельнои стороны) м Ь — одна из замкнутых траекторий той ячейки, для которой является граничным с положительной стороны. [c.425]

Л е м м а И. а) Пусть Ю — О-предельный континуум, состоящий из одной простой замкнутой кривой или из нескольких таких кривых 81, расположенных вне друг друга. Тогда, сс.т положительное направление обхода кривых совпадает с направлением по i противоположно см]/), то и на всякой замкнутой траектории ячейки и, для которой К - яв.пяется граничным, направление положительного обхода совпадает с направленис.м по I противоположно ему), б) Пусть среди простых замкнутых кривых 8 континуума Ю имеется одиа, например 81, содержащая все остальные внутри себя. Тогда, если направмние положительного обхода кривой 81 совпадает и с направление.м по t противоположно паправлению по /), то напрас.аение положите.гыюго обхода, всякой замкнутой траектории ячейки [c.441]

Рассмотрим случай 1). Пусть для определенности оба континуума ку и ку являются со-предельными. Предположим сначала, что не все точки этих континуумов общие, так что континуумы КУ и Ку различны как точечные множества. Так как все траектории, проходящие через точки любой канонической окрестнос П К и ограничивающего ее цикла без контакта С , имеют КУ своим со-предельным континуумом, а псе траектории, проходящие через точки канонической окрестности /Г и ограничивающего ее цикла без контакта, имеют Ку своим предельным континуумом, то очевидно, что в рассматриваемом случае эти канонические окрестности и ограничивающие их циклы без контакта не могут иметь общих точек. Предположим теперь, что континуумы КУ и Юу совпадают как точечные множества, так что один пз этих континуумов является континуумом КТ, а другой К1. Пусть — какая-нибудь отличная от состояния равновесия траектория, входящая в состав зтих континуумов. Если канонические окрестности континуумов К и К имеют общие точки, то траектория Ьа для всякой траектории Ь, проходящей через такую общую точку, является предельной как с положительной, так и с отрицательной стороны. Но это невозможно (см. следствие 2 леммы 2 4). Таким образом, канонические окрестности двух различных со (а также двух различных а)-предельных континуумов не имеют общих точек. [c.456]

Напомним некоторые свойства предельных траекторий, установленные в п. 5 4. Пусть 0 — отличная от состояния равновесия траектория, предельная для полутраектории Ь, входящая, следовательно, в состав некоторого континуума Кш- Пусть Мо — точка этой траектории и 1(, — проведенная через точку Мо и содержащая ее внутрп дуга без контакта. В силу следствия 1 из леммы 2 3 п. 4 на дуге кроме точки Мд не может лежать больше уже ни одной точки траектории В силу следствия 2 из той же леммы точки пересечения полутраектории с дугой 1 расположены либо все на части этой дуги, лежащей по положительную сторону Ьд, либо все на части этой дуги, лежащей по отрщательную сторолу Ьд. [c.412]

Пусть О у — состояние равновесия, со-предельное для траектории Ьу. В силу предыдущей леммы траектория Ьу продолжаема с положительной стороны, и траектория Ь ., являющаяся ее со-продолжением, тоже со-ире-дельна для полутраектории Ь с положительной стороны, т. е. 2 входит в Ка . Обознач1ш через состояние равновесия, со-предельное для траектории 2 (состояния равновесия Оу и О , в частности, могут совпадать). Продолжая аналогичное рассуждение, мы получим последовательность пз траекторий, входящих в континуум К , Ьу, Ьп,. . ., в которой каждая последующая является ш-продолжением предыдущей (с положительной стороны). Каждая траектория Ьу при - -оо стремится к состоянию равновесия О (г = 1, 2, 3,. . . ). Так как число траекторий, входящих в континуум Ги, конечно, в силу предположения о конечности числа особых траекторий, то существует наименьшее натуральное число Я такое, что траектории Ьу, Ь ,. . ., Ь различны, а траектория 1/л+1 совпадает с одной из траекторий Ьу, где 1 Но тогда непременно [c.414]

Замечание. Предположим для определенности, что все траектории, входящие в континуум К ,, являются предельными для с положительной стороны, и пусть 1о — дуга без контакта, проведенная через точку Мо какой-нибудь отличной от состояния равновесгш траектории 0, входящей в Ка,. Тогда в силу леммы 8 15 и леммы 9 16 континуум Ка, является ш-предельным не только для Ь+, но и для есех траектории, пересекающих достаточно малую часть М А дуги /о, лежащую по положительную сторону Ьо- [c.416]

В случае, когда все входящие в континуум К , траектории являются -предельными для полутраектории с положительной стороны, мы будем говорить, что континуум Ка, яеляется аз-пределъным с положительной стороны для полутраектории Ь . [c.416]

Доказательство. Для всякой траектории Ь, пересекающей дугу I в точке, достаточно близкой к точке Р и лежащей по положительную сторону траектории о (которой принадлежит точка Р), континуум К является ю-предельным с положительной стороны. Поэтому па дуге I, по положительную сторону лежит бесконечная последовательность точек траектории Ь— Pi , соответствующих неограниченно возрастающим значениям I и стремящихся к точке Р. Как и в 3, обозначим через С, простую замкнутую кривую, составленную из витка РгРг + х траектории Ь в части РгР,+1 дуги без контакта I. В силу леммы 8 15, начиная с некоторого достаточно большого I (г > /), кривые С, лежат одна внутри (вне) другой (если не считать их попарно общих точек) и содержат внутри (вне) континуум К . Предположим для определенности, что континуум К+ лежит внутри кривых С . [c.424]

Замечание 1. Задание полной схемы определяет взаимное расположение кривых 1 , входящих в состав континуума а также расположение относительно кривых тех траекторий, для которых этот р онтинуум является со-, а- или О-предельным. В случае, когда континуум K является одной простой замкнутой кривой о — это непосредственно вытекает из определешя положительной стороны траектории и указания того, совпадает ли на кривой д направление обхода по < с направлением положительного обхода или противоположно ему в случае, когда континуум состоит из нескольких кривых 5 — это непосредственно следует из замечания к лемме 8. [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...