Кирквуда — Бете уравнение

Что же касается распределения скоростей внутри жидкости, то гипотеза Кирквуда—Бете позволяет исключить с из уравнения (1.3.8). В результате получим [c.41]

Уравнения, основанные на гипотезе Кирквуда—Бете [c.146]

Чтобы вывести соотношения между полями скоростей и давления в жидкости, можно также воспользоваться гипотезой Кирквуда—Бете. Объединяя основные уравнения количества движения и неразрывности (уравнения (4.40) и (4.41) и предполагая, что величина [c.151]

Поскольку в уравнениях (57) и (58) также отсутствует явная зависимость от частоты со, то решения в системе координат (а, т) должны быть подобны и при рассмотрении уравнения Кирквуда — Бете. Это иллюстрирует рис. 2, в, где представлены численные решения уравнения (36) при Во = 0 см и различных амплитудах Р ультразвукового поля. [c.141]

Кирквуда — Бете структурно неустойчивы. Это говорит о том, что описываемые этими уравнениями кавитационные пузырьки, согласно определению А. А. Андронова [21], представляют собой негрубые системы. Нужно отметить (см. рис. 7), что негрубость наблюдается в сравнительно небольшой области амплитуд которая разделяет значительно большие области, где решения структурно устойчивы (т. е. такие, в которых кавитационный пузырек является грубой системой). [c.146]

На рис. 13, а показано изменение радиуса такого пузырька во времени, полученное численным решением уравнения Кирквуда — Бете (36). Пузырек вследствие отрицательного давления ультразвукового поля вырастает до максимального размера [c.154]

Большой практический интерес представляет исследование влияния на захлопывание кавитационных полостей величины их начальных равновесных размеров. В таблице представлены результаты, полученные на основании численных решений уравнения Кирквуда — Бете для случая пульсации при одной и той же амплитуде давления ультразвукового поля Рщ = 10 атж, частота 500 кгг/) кавитационных пузырьков трех начальных равновесных радиусов равных 10" , 5-10 и 10 см. [c.156]

Как уже указывалось, флуктуации амплитуды давления, излучаемого пульсирующим кавитационным пузырьком, слишком малы, чтобы объяснить происхождение сплошной части спектра кавитационного шума. Из рис. 17 видно, что в этой части спектра может быть сосредоточено много энергии и поэтому исследование механизма ее образования представляет определенный интерес. С этой целью обратимся к анализу не только пульсаций кавитационного пузырька, но и звукового давления излучаемого пузырька при таких пульсациях. На рис. 19 показаны изменения во времени радиуса пузырька Я1Я (кривая а), давления ультразвукового поля (кривая б) и давления р, излучаемого колеблющимся пузырьком в жидкости на некотором расстоянии г (кривая в). Все зависимости получены численными решениями уравнения Кирквуда — Бете для случая адиаба- [c.160]

Полученные в настоящей работе результаты позволяют заключить, что уравнения пульсаций кавитационных полостей (несмотря на ограничения и допущение, которые принимались при их выводе) достаточно хорошо описывают поведение реальных полостей. Особенно значителен тот факт, что эти уравнения можно применять при анализе пульсаций полостей, находящихся в кавитационной области как оказалось, в этом случае воздействие соседних полостей на пульсации настолько незначительно, что им можно пренебречь. Применение теории Кирквуда — Бете в изложенной выше форме позволяет рассчитывать не только формирование, но и диссипацию ударных волн, возникающих при захлопывании кавитационных полостей. Существовавшие до этого другие формы применения] теории Кирквуда — Бете (например, в работе [43]) оказались менее эффективными. [c.165]

На рис. 11 вверху приведено изменение во времени Г давления вблизи кавитационного пузырька, полученное из численного решения уравнения Кирквуда—Бете [см. (36) IV части, стр. 137]. Приведенный расчет соответствует давлениям вблизи пузырька для случая, когда г// о = 100 (г — расстояние от центра пузырька). Пульсации этого пузырька показаны жирной кривой на рис. 8. При первом захлопывании пузырька давление Рщ достигает весьма большого значения величина последующих импульсов, вызываемых резонансными пульсациями пузырька, монотонно уменьшается. [c.185]

Вместо уравнения Рэлея, используемого в работе [37], в качестве четвертого уравнения в системе (54) приняты аналогичные ему уравнения Кирквуда — Бете [43], [c.259]

Кирквуда — Бете) распространяются от пузырька вдоль характеристики первого семейства dridt = и + j, где j — скорость звука в чистой жидкости. Эти гипотезы, по-видимому, выполняются при рсх, onst (см. обсуждение (4.2.41) и (4.2.42)). Гипотеза Триллинга — Херринга приводит к уравнению [c.269]

Кирквуда — Бете гппоте.за 269 Клапейрона — Клаузиуса уравнение 247 Коагуляция 209 [c.334]

Таким образом, упомянутые гипотезы Триллипга — Херринга п Кирквуда — Бете применительно к уравнениям пузырьковой смеси (1,5.4) существенно завышают акустическое излучение. [c.180]

Примерно в то же время Джильмор, отказавшись от акустического приближения, принял гипотезу Кирквуда—Бете, согласно которой возмущения распространяются со скоростью, равной сумме местной скорости звука и скорости жидкости, и составил приближенные уравнения движения стенки пузырька при переменном давлении газа, а затем выполнил численные расчеты. [c.12]

Гилмор [9] сделал еще один шаг вперед. Вместо приближения, основанного на акустических представлениях, в котором предполагается, что все возмущения давления распространяются со скоростью звука, он принял гипотезу Кирквуда—Бете [23], согласно которой возмущения распространяются со скоростью, равной сумме скорости звука и местной скорости жидкости. Результаты Гилмора включают расчеты движения стенки пузырька с постоянным внутренним давлением, приближенные уравнения движения стенки пузырька при переменном давлении газа, рассмотрение влияния вязкости и поверхностного натяжения и приближенные уравнения для полей скорости и давления во всем объеме жидкости. [c.146]

Основные уравнения Гилмора соответствуют гипотезе Кирквуда—Бете, согласно которой величина r u l2 + h) распространяется от центра вдоль пути, или характеристики , по которому движется точка, имеющая скорость с+и (с — местная скорость звука в жидкости, и — местная скорость жидкости, h = h p) = р [c.146]

Хиклинг и Плессет [16] получили на быстродействующей ЭВМ решения для схлопывания газовой каверны в сжимаемой жидкости без учета вязкости и поверхностного натяжения. Они рассчитали движение стенки пузырька и распределения скорости и давления в окружающей жидкости, а также описали повторное образование каверны и возникающую при этом ударную волну, распространяющуюся в жидкости. Движение до момента достижения минимального радиуса было рассчитано методом Гилмора, основанным на гипотезе Кирквуда—Бете и решениях уравнений движения как в лагранжевых координатах, так и в виде характеристик. Начальными условиями последних двух точных решений служило движение стенки пузырька в дозвуковом диапазоне ( //С 0,1), рассчитанное методом Гилмора. Это позволяло значительно сократить время счета, которое требовалось бы при использовании точного метода расчета движения от его начала. После достижения минимального радиуса течение жидкости в области повторного возникновения пузырька до момента образования ударной волны рассчитывалось в лагранжевых координатах. [c.154]

Используя теорию Гилмора, Хиклинг и Плессет [16] применяли его модификации уравнения движения стенки пузырька (уравнение (4.43)) и уравнений для полей скорости и давления (уравнения (4.54) и (4.55)), основанные на гипотезе Кирквуда—Бете. Давление газа в пузырьке определялось по формуле [c.154]

В работе Айвени [19] учитывается влияние вязкости и поверхностного натяжения, а также сжимаемости при схлопывании пустых каверн и каверн, заполненных газом. Подобно Хик-лингу и Плессету [16], он следовал теории Гилмора [9], основанной на гипотезе Кирквуда—Бете [23]. Однако для расчетов он применял другой численный метод. Для расчета движения стенки пузырька он использовал уравнения (4.43) — (4.46), а для расчета полей скорости и давления в жидкости — уравнения (4.54а) — (4.56). Вязкость и поверхностное натяжение учитывались в граничном условии для давления с помощью уравнения (4.49). Сжатие предполагалось адиабатическим. Айвени сравнивал полученные им результаты с соответствующими результатами для несжимаемой жидкости. Некоторые из его результатов приведены в табл. 4.3. [c.160]

Уравнение (36) рассматривали Коул [16] и Джильмор [17] применительно к подводным взрывам в воде. Когда Н выражается соотношением (39), уравнение (36) описывает пульсации кавитационного газового пузырька в поле ультразвуковой волны с учетом сжимаемости жидкости. В дальнейшем такое уравнение будем называть уравнением Кирквуда — Бете. [c.137]

Представленные на рис. 2 результаты показывают, что в системе координат (а, т), которая с точностью до постоянных подобна системе координат (Л, ), решения уравнений Херринга — Флинна и Кирквуда — Бете не отличаются от решений уравнения Нолтинга — Непайраса. Это вполне закономерно, так как различие должно проявляться тогда, когда скорость и становится значительной по сравнению с Поскольку это всегда проявляется в последней стадии захлопывания, когда В < В , то проанализировать различие решений уравнений в системе координат В, 1) не представляется возможным. Такое различие проявляется при сравнении скорости захлопывания С/, определяемой из уравнений, что будет рассмотрено ниже. [c.141]

Отсутствие решений в обш ем виде уравнений Нолтинга — Непайраса, Херринга — Флинна и Кирквуда — Бете не позволяет со всей полнотой проанализировать влияние на характер их решений таких параметров, как амплитуда ультразвукового поля и размер зародышей кавитации. Однако на основании ансамбля численных решений, получаемых при изменении основных параметров в достаточно широких пределах, можно сделать важные выводы об обш ей структуре этих решений. [c.141]

Полученные в предыдуш ем параграфе результаты позволяют при определенных условиях связать численное решение, полученное при какой-либо одной частоте, с решением, полученным при других частотах ультразвукового поля. Поэтому наибольший интерес представляет исследование того, как меняются решения уравнений Нолтинга — Непайраса, Херринга — Флинна и Кирквуда — Бете при изменении амплитуды давления ультразвукового поля. [c.141]

Условия структурной неустойчивости (59) и (60) остаются справедливыми и для уравнений Херринга — Флинна и Кирквуда — Бете, поскольку, как показано на рис. 2, соответствующие решения К ( ) уравнений (15), (25) и (36) подобны при К > Различие проявляется в максимальных скоростях захлопывания, что не влияет на структуру решений. [c.145]

Как известно, при качественном анализе нелинейных дифференциальных уравнений очень плодотворным оказывается метод фазовых портретов, развитый применительно к задаче нелинейных колебаний А. А. Андроновым [21, 22]. Поскольку уравнения Нолтинга — Непайраса, Херринга — Флинна и Кирквуда — Бете не автономны, получить их решения, используя фазовую плоскость, не представляется возможным. Однако очень наглядным является представление на фазовой плоскости полу- [c.148]

На рис. 12 показано сравнение пульсаций наблюдаемых экспериментально реальных кавитационных пузырьков с расчетными пульсациями, получаемыми при решении нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь точками отмечены результаты экспериментов, соответствующих кинограммам, приведенным на рис. 11 и полученным в аналогичных условиях при различных давлениях ультразвукового поля. Сплошной линией показаны численные решения уравнения Херринга—Флинна и Кирквуда— Бете, которые в рассматриваемых случаях совпадают, а пунктирной — [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...