Компоненты вектора метрического, ковариантные

На основании (2 .17) метрический тензор является симметричным. С помощью метрического тензора можно установить соотношения между -контравариантными и ковариантными компонентами вектора а. Исходя из (2 .4) и (2 .3) имеем [c.410]

Связь между компонентами тензора с различным строением индексов осуществляется как и между ковариантными и контра-вариантными компонентами вектора 1см. (1.51) и (1.52)1, с помощью компонент метрического тензора [c.37]

Замечательная особенность ковариантной производной — свойство свертки с метрическим тензором дт1- Если обозначить ковариантную производную ковариантного вектора (точнее, ковариантной компоненты) [c.112]

Рассматривая операции тензорного анализа в криволинейных координатах, мы до сих пор исходили из представления радиус-вектора г(д ). Этой зависимостью порождались выражения базисных векторов г., ковариантных компонент метрического тензора g J, символов Кристоффеля Гр и др. Недоразумением было понятие метрический тензор ведь gy — это компоненты единичного тензора Е. [c.29]

Конечно, gsk= s k вычисляемые по заданию (6) вектор-радиуса места, тождественно обращают в нуль тензор кривизны. Если же, задавшись положительной симметричной матрицей , и определив по ней обратную матрицу вычислим величины (18) и все они окажутся нулями, то это укажет на то, что квадратичная форма (3) приводима к пифагорову виду (1), ВзА—ковариантные компоненты евклидова метрического тензора. В противном случае ds —квадрат линейного элемента в [c.489]

Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31]

Метрический тензор в случае ортогонального триэдра базисных векторов является диагональным его ковариантные компоненты равны [c.885]

Двойными называют [102] тензоры второго ранга, диады которых составлены из векторов, взятых из разных векторных базисов. Из соотношений (6.45) усматривается, что в них тензоры F, F" , F, F = F рассматриваются как двойные тензоры деформации. Существенно, что эти несимметричные тензоры, рассматриваемые как двойные, имеют симметричные компоненты. Отметим, что одни и те же ковариантные компоненты имеют тензор деформации Коши—Лагранжа (6.46), двойной тензор — градиент движения F (6.45) и единичный (метрический) тензор 1 = G (6.17). [c.90]

Здесь = —третья координата, отсчитываемая по нормали к поверхности. Базисные векторы, ковариантные компоненты метрического тензора и их определитель определяются формулами [c.492]

Это соотношение между gik метрическим тензором легко получается непосредственно из (9.286), (9.289) и (9.302). С помощью (9.298), (9.319) и (9.313), (9.314) получим следующий закон преобразования для ковариантных компонент стандартного вектора [c.256]

Величина gik, которую будем называть стандартным метрическим тензором, является частным примером стандартного тензора ранга 2. Стандартный тензор ранга п определяется как п-индексная величина (с 4 компонентами), которая по каждому индексу преобразуется как стандартный вектор, т. е. в соответствии с (9.313) для контравариантных индексов и с (9.322) для ковариантных. Связь между ковариантными и контравариантными компонентами дается с помощью правил (9.298) опускания и поднятия индексов. Таким образом, по аналогии с (9.36), (9.38) для стандартного тензора ранга 2 имеем [c.256]

Здесь gnk, gnk — ковариантные метрические тензоры соответственно в 5 и dx — компоненты бесконечно малого вектора PQ, определяющего положгаие точки Q относительно точки Р, а dx — компоненты вектора PQ (см. рис. 10), который в силу непрерывности является бесконечно малым. [c.47]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянньпли. Заметим, что операция ко-вариантного дифференцирования введена для компонент векторов и тензоров. Сами же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной производной. [c.14]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянными. Кроме того, как нетрудно видеть, на ковариантное дифференцирование распространяется правило обычного дифференцирования произведения. Отметим, что операция ковариантного диф( ренцирования введена для компонент вектора и тензоров. Сами же векторы и тензоры являются ин- [c.87]

Внося теперь (8.П), (8.5) в формулы 6 iк = - 1Т>к и учитывая ортогональность векторов т и находим ковариантные компоненты второго метрического тензора поверхНЬсти 0, соответствующие ее параметризации уравнением (8.2) [c.37]

В общем случае ввести систему координат, в которой компоненты метрического тензора были бы везде постоянными, нельзя, но, как мы далее увидим, такие системы всегда можно получить локально, т. е. в малой окрестности каждой точки 4-пространства. Выберем произвольную систему S координат (х ) с метрическим тензором gik (х), н пусть Хр — координаты события Р. Рассмотрим совокупность четырех взаимноортогональных единичных векторов (тетрада) в точке Р. Пусть е а) (а = 1, 2, 3, 4) — контравариантные компоненты а-го вектора тетрады. Один из этих векторов в(4) — времениподобный, а остальные три е(а) — пространственноподобны. Из (9.16) ковариантные компоненты векторов тетрады равно e( ),- = gik ta), где gif. = gj (Р) — значения компонент метрического тензора в точке Р. Ортонормированность векторов тетрады выражается соотношениями [c.223]

В уравнениях (1)-(3), как и во всей статье, обозначено -оператор ковариантной производной =5 +ag ,J =е, + g,J /3 -компоненты тензоров напряжений и скорости деформации, соответственно - компоненты девиаторов напряжений и скорости деформации, соответственно а, - компоненты шаровых тензоров - компоненты метрических тензоров У , у - компоненты векторов скорости и ускорения, соответственно g , - плотность заданной массовой силы р - массовая плотность верхние индексы соответствуют контравариантным, а нижние - кова иант-ным компонентам тензоров. [c.6]

Следовательно, для повертностей сложной форш, пологих относительно поверхности отсчета, в каждой точке М (3 ковариантные производные относительно й с принятой степенью точности можно заменить ковариантными производными относительно метрического тензора а к поверхности б , проведенной через рассматривааяую точку эквидистантно поверхности отсчета например, для компонент некоторого вектора О, будут иметь место форкдглы [c.77]

Можно считать, что в рассматриваемой ге-мерной области изменения q справедлива риманова геометрия, определяемая ко-вариантным метрическим тензором (gih). Тогда (Я) и (fi) представляют собой в силу (5) контрвариантные и ковариантные компоненты одного и того же вектора. Формула (20z) определяет символы Кристоффеля для gih, а (20i) — вихрь (ковариантный) вектора /= fi). Кроме того, (4) показывает, что импульсы р, соответствуют ковариантным векторам (см. 48), так что их ин- [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...