Брахистохрона

Не менее интересной задачей является задача о брахистохроне (кривой бы- [c.333]

Бернулли Даниил 5 Бернулли Иваи 5 Брахистохрона 403 [c.420]

Пример 62. Задача о брахистохроне. В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую, при движении по которой время движения будет наименьшим. Эта задача получи-л а название задачи о брахистохроне н положила начало вариационному исчислению. [c.235]

Брахистохрона. Пусть материальная точка с массой т движется в однородном поле тяжести по некоторой кривой AB (рис. 363), лежащей в вертикальной плоскости, и выходит из точки А без начальной скорости. [c.415]

Будем теперь искать такую кривую, двигаясь по которой точка пройдет путь АВ в кратчайшее время аналитически эта задача сводится к нахождению такой функции z(x), которая обращала бы функционал (43) в минимум. Кривая, обладающая таким свойством, называется брахистохроной (от греческих слов рра што —кратчайший и xP vo —время). Задача о брахистохроне была впервые поставлена и решена в 1696 г. Иоганном Бернулли, который тем самым положил начало вариационному исчислению — отделу анализа, посвященному нахождению экстремумов функционалов. [c.416]

Таким образом, задача о брахистохроне сводится к нахождению минимума функционала, общий вид которого есть [c.416]

Возвратимся к задаче о брахистохроне, которая, как мы видели, сводится к нахождению минимума функционала [c.419]

Так как минимизирующая кривая z = z (х) должна проходить через точку Л (О, 0), то при X = 0 Z = 0 и, следовательно, как видно из (53), ф = 0. Подставляя эти значения в уравнение (54), получим С, = 0. Окончательно, принимая во внимание (53), найдем следующее уравнение брахистохроны в параметрической форме [c.420]

Таким образом, для однородного поля тяжести брахистохроной будет циклоида, у которой диаметр образующего круга есть С. Величина С определяется из того условия, что циклоида проходит через точку B Xi, Zi)-, следовательно, должно быть [c.420]

Задачу о брахистохроне можно поставить шире, т. е. искать брахистохрону для потенциального поля сил, определяемого силовой функцией и (х, у, z). В этом случае имеем интеграл энергии [c.420]

Задача сводится к вариационной задаче о нахождении минимума полученного интеграла, т. е. к нахождению минимизирующих функций у (л ) и Z (х), которые и дадут уравнение брахистохроны [c.421]

Пример 8.11.1. (Задача о брахистохроне). Материальная точка массы т соскальзывает без начальной скорости в поле параллельных сил тяжести в вертикальной плоскости по абсолютно гладкой кривой у, соединяющей заданные начальную точку А и конечную точку В. Среди всех дважды непрерывно дифференцируемых кривых у, проходящих через фиксированные точки А л В, найти такую, для которой время движения точки из. 4 в б минимально. [c.601]

Исследовать зависимость решения задачи о брахистохроне (см. пример 8.11.1) от начальных условий. [c.624]

Брахистохрона. Движение тяжелой точки по циклоиде имеет еще одну особенность, выявленную в свое время И. Бернулли. [c.438]

Найденная циклоида в связи с отмеченным выше свойством, явившимся поводом для ее определения, называется брахистохроной (кривой наименьшего времени ). [c.440]

Конечно, приведенное здесь решение задачи о брахистохроне нельзя считать достаточно строгим. Вполне строгое исследование вопроса о брахистохроне возможно при использовании основных теорем вариационного исчисления ). [c.440]

На рис. 3.1, 6 изображена схема другой известной задачи о так называемой брахистохроне — кривой у (х), обеспечивающей кратчайшее время соскальзывания под действием силы тяжести точечной массы т (без трения) из точки А в точку В. Вертикальная скорость массы о = y 2g h — у), поэтому ее горизонтальная скорость будет dz/d = V os а = Y2g h — у) Y + у - Отсюда найдем [c.50]

Классическим примером вариационной задачи является задача о брахистохроне — линии быстрейшего ската, предложенная в 1696 г. И. Бернулли. Между точками А ж В, не лежащими на вертикали, требуется провести линию, по которой материальная точка в минимальное время скатится из точки А в точку В (рис. 8.1). Здесь роль функционала выполняет время i перемещения из точки >1 в точку В, а уравнение у (ж) кривой, проходящей через точки А и В,— искомая функция. [c.190]

Брахистохрона для силы тяжести. Найдем сначала брахистохрону для силы тяжести. Даны две точки А и В, из которых более высокой является точка А. Найдем, при помощи какой кривой С нужно соединить эти две точки для того, чтобы тяжелая материальная точка, пущенная из точки А без начальной [c.393]

Эта кривая является брахистохроной для силы тяжести или кривой наиболее быстрого ската (рис. 161). [c.394]

Теорема Эйлера. При движении по брахистохроне нормальная реакция направлена по главной нормали она равна по модулю и противоположна по направлению удвоенной нормальной составляющей действующей силы. [c.396]

Приложение теорем Томсона и Тэта к брахистохронам. [c.397]

Эти свойства, если их, в частности, приложить к брахистохронам, получают простое выражение. Брахистохроны в случае сил, имеющих силовую функцию и х, у, г), получаются как кривые, обращающие в минимум интеграл [c.397]

Брахистохроны будут тогда кривыми, которые раньше были названы кривыми С (п. 146), зависящими от четырех произвольных постоянных. Например, если принять и = — рг, к — О, то брахистохроны будут циклоидами, лежащими в вертикальных плоскостях ниже плоскости ху и имеющими точки возврата на плоскости ху. [c.398]

Если заданы две непод,вижные поверхности 5 и 2, то кривая, которую нужно провести между ними таким образом, чтобы движущаяся по ней при указанных начальных условиях точка описала ее за минимальное время, является брахистохроной, которая одновременно нормальна к обеим поверхностям. Теорема остается справедливой, если одна или обе эти поверхности заменяются кривой или точкой. [c.398]

Если взять брахистохроны, нормальные к поверхности 5 и по каждой из них в момент 7 = 0 пустить при указанных начальных условиях одинаковые материальные точки, то в любой момент времени t все эти точки будут находиться на поверхности 8, также нормальной к брахистохронам. (Эта теорема была указана уже Эйлером.) [c.398]

Наконец, формула Тэта и Томсона позволяет высказать для брахистохрон теоремы, аналогичные свойствам разверток, если заменить в классических формулировках длины дуг промежутками времени, которые затрачивает для их описания точка, скользящая по ним без трения. Мы не бз дем здесь останавливаться на этом вопросе, который мы предлагаем в качестве упражнения. [c.399]

Брахистохроны на заданной поверхности. Требуется среди кривых, лежащих на заданной поверхности / х, у, 2) = 0 и соединяющих две точки А и В, найти такую, которая обращает интеграл [c.399]

Сила является весом, а кривые С суть циклоиды в вертикальной плоскости с горизонтальными основаниями и точками возврата в точке О. [Синхронные кривые S ортогональны к циклоидам это вытекает (п. 256) из того, что циклоиды С являются брахистохронами для рассматриваемого закона сил.] (Эйлер). [c.408]

Доказать, что если синхронные кривые ортогональны к траекториям, то последние совпадают с синодальными кривыми и обращаются в брахистохроны для рассматриваемых сил. (Там же.) [c.409]

Наиболее интересным случаем будет тот, для которого п = — 1 тогда кривая будет брахистохроной. Таким образом вновь устанавливается связь [c.464]

Пример 10 . Определить брахистохрону, т. е. линпю, соединяющую дне зада тые точки А и В, не Рис. 286 [c.403]

Геометрическая задача. Нахождение фигуры равновесия нити в случае существования силовой функции. может быть сведено при помощи интересного приема к отысканию максимума или минимума некоторого определенного интеграла, который встречается также при определении брахистохрон, при доказательстве принципа наименьщего действия и в общей задаче рефракции. [c.184]

Следствия, которые получаются из фор.чулы (4), тождествеины с теми, которые выводятся из аналогичной формулы для пp ыx в теории разверток и в теории параллельных кривых и поверхностей. Л4ы укажем здесь те следствия, которые приводят к интерес-иы.м результатам в теории брахистохрон, в, теории принципа наименьшего действия и в задаче рефракции. Мы предполагаем в последующем, что функция не обращается в нуль в рассматривав-мой области пространства. [c.189]

Брахистохроны в общем случае. Рассмотрим точку, находящуюся под действием силы F, имеющей силовую функцию U (х, у, г). Найдем кривую С, которою нужно соединить две точки А в В для того, чтобы точка, двигающаяся по этой кривой и вышедшая из Л с заданной начальной скоростью Vg, пришла в В за наиболее короткий промежуток времени (рис. 161). Эта кривая С является брахистохроной для заданного закона силы. Обозначая [c.395]

Пусть АСЗ и А1С1З1 — две бесконечно близкие брахистохроны, описываемые точкой массы 1, — первая за время t, а вторая за время t- - Ы тогда имеем (п. 147) [c.398]

Курс теоретической механики Ч.2 (1977) -- [ c.403 ]

Основной курс теоретической механики. Ч.1 (1972) -- [ c.416 , c.420 ]

Курс теоретической механики. Т.1 (1972) -- [ c.440 ]

Теоретическая механика Том 1 (1960) -- [ c.184 , c.189 , c.393 , c.408 , c.464 , c.499 , c.501 ]

Классическая механика (1975) -- [ c.48 ]

Механика (2001) -- [ c.128 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 1 (1951) -- [ c.51 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 2 (1951) -- [ c.455 ]

Курс теоретической механики Изд 12 (2006) -- [ c.587 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...