Брахистохрона для силы тяжести

Пример 62. Задача о брахистохроне. В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую, при движении по которой время движения будет наименьшим. Эта задача получи-л а название задачи о брахистохроне н положила начало вариационному исчислению. [c.235]

Пример 8.11.1. (Задача о брахистохроне). Материальная точка массы т соскальзывает без начальной скорости в поле параллельных сил тяжести в вертикальной плоскости по абсолютно гладкой кривой у, соединяющей заданные начальную точку А и конечную точку В. Среди всех дважды непрерывно дифференцируемых кривых у, проходящих через фиксированные точки А л В, найти такую, для которой время движения точки из. 4 в б минимально. [c.601]

На рис. 3.1, 6 изображена схема другой известной задачи о так называемой брахистохроне — кривой у (х), обеспечивающей кратчайшее время соскальзывания под действием силы тяжести точечной массы т (без трения) из точки А в точку В. Вертикальная скорость массы о = y 2g h — у), поэтому ее горизонтальная скорость будет dz/d = V os а = Y2g h — у) Y + у - Отсюда найдем [c.50]

Брахистохрона для силы тяжести. Найдем сначала брахистохрону для силы тяжести. Даны две точки А и В, из которых более высокой является точка А. Найдем, при помощи какой кривой С нужно соединить эти две точки для того, чтобы тяжелая материальная точка, пущенная из точки А без начальной [c.393]

Эта кривая является брахистохроной для силы тяжести или кривой наиболее быстрого ската (рис. 161). [c.394]

Определение брахистохроны, описываемой под действием силы тяжести, связывается с именами Якова Бернулли. Лейбница и Ньютона (1697). [c.290]

Отметим еще без доказательства, что циклоида не только изохронна она является еще и брахистохроной относительно силы тяжести. [c.51]

Задача о брахистохроне (для заданного силового поля) формулируется так оставляя неизменными два конца А к В, определить дугу кривой с так, чтобы продолжительность t пробега была наименьшей. Эта задача впервые была поставлена и решена в 1696 г. Иваном Бернулли для случая силы тяжести U = gy, если ось у вертикальна и направлена вниз) и послужила исходным пунктом вариационного исчисления. [c.455]

Брахистохрона в поле силы тяжести. Как уже было отмечено, этот случай входит в задачу предыдущего упражнения при условии и = gy, если ось у вертикальна и направлена вниз. Если для краткости обозначим через —у постоянную U — 2С/ , то интеграл, который мы хотим сделать минимальным, в этом случае принимает вид [c.456]

БРАХИСТОХРОНА, кривая быстрейшего спуска, относящаяся к вопросу механики о движении материальной точки по данной линии под действием силы тяжести. Между двумя точками А и В, находящимися на различной высоте над горизонтом, можно представить себе бесчисленное множество различ- [c.499]

Одной из первых задач, положивших начало развитию вариационного исчисления, была задача о брахистохроне (Ив, Бернулли, 1696 г.), состоящая в следующем. Допустим, что точечная частица под действием силы тяжести падает без начальной скорости из точки О в точку А по некоторой кривой, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 31.1). Время падения частицы можно представить криволинейным интегралом [c.177]

Хорошо известно из истории науки, что из простейших задач механики развились многие весьма содержательные математические дисциплины. Так, задача о форме кривой наибыстрейшего ската в однородном поле силы тяжести (задача о брахистохроне) привела к созданию вариационного исчисления, а затем и функционального анализа. Обобщения основных понятий механики (момента силы, работы силы, напряжения, деформации) составляют, в сущности, реальное основание векторного и тензорного анализа. Мы думаем, что конкретные задачи механики и физики обогащали математику идейным содержанием и оттачивали ее логические построения не меньше, чем абстрактные, предельно формализованные исследования в чисто внутренних областях математики. Абстрактные исследования содержательны и эвристичны при условии, что в их основе лежат (или предугаданы) некоторые количественные закономерности объективно существующих форм движения материи. [c.10]

Пример 2, Определить траекторию, соединяющую точку А с точкой В, двигаясь по которой под действием силы тяжести, матеоиальная точка пройдёт путь АВ в кратчайшее время (задача о брахистохроне). [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...