Случай кратных корней характеристического уравнения

Произведенный анализ устанавливает существование нормальных координат, но не позволяет указать способы нахождения форм Л линейных преобразований (II. 190), независимых от предварительного интегрирования дифференциальных уравнений малых колебаний. Кроме этого, остается нерассмотренным случай кратных корней характеристического уравнения. [c.245]

Случай кратных корней характеристического уравнения [c.252]

На случай кратных корней характеристического уравнения впервые обратил внимание Лагранж в своей Аналитической механике". Излагая теорию колебаний, он указывает (Ж. Лагранж, Аналитическая механика, т. I, 1950, Динамика, отдел шестой, 1, п. 7, стр. 452 и сл.), что координаты системы будут оставаться малыми только при условии, что все корни характеристического уравнения вещественны, положительны и неравны между собой. Нетрудно показать па частном примере, что последнее требование излишне. Рассмотрим колебание материальной точки, лежащей в горизонтальной плоскости и притягиваемой к неподвижному центру с силой, пропорциональной расстоянию. Уравнения движения точки будут [c.424]

Прежде чем подставлять их в формулу (8.51), выразим коэффициент линейного трения i в долях от его критической величины —Сд. Критической называется такая величина коэффициента линейного трения, при которой свободное движение упругой системы уже теряет колебательный характер. Вернувшись к 2.1, легко показать, что такое движение соответствует случаю кратных корней характеристического уравнения (2.3). Для рассматриваемой нами линейной колебательной системы с трением, имеющей вид [c.310]

В заключение рассмотрим случай, когда b=k. Корни характеристического уравнения (78) будут при этом тоже действительными, но кратными ( 1,2= 6) и общее решение уравнения (76) примет вид (что можно проверить подстановкой х в уравнение) [c.240]

Особо рассмотрим случай а = 0. Тогда 0 — 0 л 0 — 0. Имеем два кратных мнимых корня характеристического уравнения. Если мысленно убрать гироскопические силы, то рассматриваемая система превращается в позиционную линейную систему, уравнение частот которой имело бы один кратный корень, и вся плоскость Оху состояла бы из собственных векторов. В ней следовало бы выбрать взаимно ортогональные, например вдоль осей Ох и Оу, и каждому из направлений соответствовало бы по два линейно независимых решения. Действие гироскопических сил приводит к тому, что система имеет одно собственное направление Ц1 для корня / 1 = 0 = —ш, определяемое из условия [c.597]

При корни характеристического уравнения действительные и разные, при к=к будет случай действительных кратных корней и, наконец, при к>к корни характеристического уравнения комплексные. [c.336]

Случай г = сос. Если г = Шс, то корни характеристического уравнения получаются кратными 8 = 5 = г и общее решение уравнения (17.104) приобретает форму [c.101]

Рассмотрим отдельно два случая, соответствующие кратным и разным корням характеристического уравнения. Корни действительные и разные. [c.152]

Случай двух кратных корней. Пусть корни характеристического уравнения могут быть записаны в следующем виде [c.152]

Граничный случай (h = k). Корни характеристического уравнения в этом случае будут вещественными и кратными [c.46]

Характеристическое уравнение может иметь как действительные, так и комплексные корни. Решая уравнение (11.208), найдем 2У корней Kj (/ = 1,2,..., 2Ы). Будем рассматривать случай отсутствия кратных корней уравнений (11.208). [c.258]

Будем предполагать, что все корни уравнения (17.179), называемого характеристическим, простые, т. е. все они разные (нет кратных корней). В случае наличия кратных корней вопрос усложняется. Этот случай рассмотрен в книге Н. Г. Четаева Устойчивость движения (М. Наука, 1965). [c.136]

Здесь, как и в дальнейшем, мы не рассматриваем случая, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни правила, которыми следует руководствоваться в этом случае, можно найти в теории интегрирования дифференциальных уравнений. [c.401]

Случай кратных корней характеристического уравнения практически встречается редко и не требует применения особых методов иследования. Действительно, если среди корней характеристического уравнения встречается, например, корень кратности т, то т уравнений системы (Ь ) или (о) предыдущего параграфа будут алгебраическими следствиями остальных уравнений. При этом можно определить N — т неизвестных через остальные т, которые могут быть выбраны произвольно. Конечно, эти неизвестные следует выбирать так, чтобы удовлетворялись условия ортогональности. [c.252]

В настоящем изложении опущены многие детали, в частности не доказана иоложительность корней характеристического уравнения, не разобран случай кратных корней этого уравнения и т. д. [c.595]

Аналогично доказываетея эта теорема для случая наличия комплексных корней характеристического уравнения с положительными действительными частями ). Случай наличия кратных корней с положительными действительным частями А. М. Ляпунов не рассматривал. Очевидно, заключение о неустойчивости движения сохраняется и в этом случае. [c.338]

Ип общего репгепня (4.9) и предельных равенстп (4.11) пепосредственно вытекают следующие теоремы об устойчивости двия ения линейной автономной системы, имеющей простые корни характеристического уравнения (случай кратных корней рассматривается в гл. V) [c.100]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...