Колебания маятника, фазовая плоскость

Колебания маятника, фазовая плоскость [c.56]

КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА, ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ [c.57]

В движениях первого типа функции q t) p t) являются периодическими функциями с одним и тем же периодом. Точка, изображающая движение в фазовой плоскости, описывает замкнутую кривую. В этом случае говорят, что имеет место случай колебаний. Примером могут служить колебания маятника, рассмотренные в п. п. 93-96. На рис. 94 им отвечают замкнутые фазовые кривые, окружающие особые точки типа центр. [c.371]

Для а > 0(1 существует только одно устойчивое состояние равновесия, соответствующее затухающим колебаниям маятника При Oq > а > О состояний равновесия уравнений первого приближения три устойчивое р = О, неустойчивое, соответствующее нижней части параболы, построенной по уравнению (7), и устойчивое, соответствующее верхней части параболы. На фазовой плоскости д, это соответствует [c.175]

Проанализируем на фазовой плоскости колебания математического маятника при произвольных углах а отклонения от положения равновесия. При этом будем считать, что точечная масса т прикреплена не к нити, а к жесткому невесомому стержню длины I. Первое из уравнений (1.2) запишем в виде [c.16]

Фазовая плоскость. Изучая движение какой-нибудь физической системы, мы можем интересоваться, скажем, тем, каково будет положение отдельных ее частей в какой-то момент времени, или тем, когда система придет в такое-то положение. Именно так ставит задачу астроном, пред-вычисляющий момент наступления затмения. Но можно интересоваться и другим общим характером движения—тем, например, является ли оно периодическим или нет, каковы коэффициенты его разложения в ряд Фурье (если оно является периодическим), и т. п. Именно такой подход характерен для теории колебаний. Например, вопрос о том, может ли под действием колебаний маятника сильно раскачаться рама, к которой он подвешен (гл. I, рис, 1), решается не тем, велико или мало отклонение маятника в какой-то определенный момент времени, а тем, каков ритм колебаний, т. е, каков характер движения, взятого в целом. Желательно поэтому иметь наглядное графическое изображение всего движения физической системы, например маятника, т, е. изображение, охватывающее все значения t. Желательно, кроме того, изобразить графически на одной диаграмме все разнообразие, все богатство движений, которые может совершать Изучаемая система, в данном случае маятник. Нанеся [c.59]

Рис. 62. Фазовая плоскость идеализированного маятника (малые колебания, трение отсутствует).

Фазовая плоскость будет в точности такой же, как для маятника, совершающего малые колебания. [c.61]

Вид фазовой плоскости для а > a показан на рис, 8.12. Каковы ни были начальные условия, маятник совершает затухающие колебан Состояние равновесия ]/ = у]/ = О асимптотически устойчиво в целом. [c.190]

При д> д ъ зависимости от начальных условий маятник может совершать незатухающие периодические колебания с периодом 4я/vo относительно нижнего либо верхнего положения равновесия. Кроме того, возможны режимы регулярного вращения, когда за период колебаний оси подвеса маятник совершает один оборот в ту или иную сторону. Проекция фазового портрета на плоскость х, х при а = 0,1 л>о = 20 д = 95,92, полученная на ЭВМ, представлена на рис. 9.19, а [225]. Вид реализации процесса х 1), его спектральная плотность и форма предельного цикла, соответствующие колебаниям относительно верхнего положения равновесия, при тех же значениях параметров показаны на рис. 9.19, б, в и г. Отметим, что области притяжения предельных циклов снаружи являются довольно узкими. При сравнительно небольших отклонениях от этих циклов маятник переходит во вращательный режим. [c.280]

Поведение фазовых траекторий на всей плоскости ху, а также вблизи особых точек позволяет судить как о характере движения исходной системы, так и о характере ее состояний равновесия. В качестве примера рассмотрим простейшую линейную систему. Уравнение колебаний математического маятника имеет вид (стр. 135) [c.510]

График функции П (( ) и фазовые кривые представлены на рис. 94. Картина фазовых кривых периодична по ср с периодом 2тг. При h < —uJq движение невозможно. При h = —LjOq маятник находится в положении равновесия, когда его центр масс занимает самое низкое из возможных положений. На фазовой плоскости ср, ф этому положению равновесия соответствуют точки, в которых if = 2ктг (к = О, =Ы, 2,. ..), а = 0. Это точки типа центр. Они окружены замкнутыми фазовыми кривыми, соответствующими колебаниям маятника. Колебательным движениям маятника соответствуют значения /г, удовлетворяющие неравенству —uJq < h < uJq. [c.183]

Расположение интегральных кривых уравнения (168) показано на рис. 30. Предположим, что маятнику, находящемуся в положении х = О, сообщен импульс, после чего он приобретает угловую скорость Vo Если она невелика (О < < t l. см рис. 30), то маятник совершает затухающие кoлeбйг ия около точки лг = О оси Ох, не делая полного оборота вокруг точки подвеса. Если эта скорость достаточно велика ( jo > i) то маятник сделает одни или 1 "сколько оборотов, прежде чем начнет совершать затухающие колебания относительно инж- его положения устойчивого равновесия. В фазовой плоскости xOv этим движениям соответствуют (см рис. 30) спиральные кривые, проходящие через точку (О, t>o), приближающиеся к тому или иному фокусу х = 2ЙЯ, tf = 0) в зависимости от величины Таким образом, можно указать интервал начальных скоростей маятника, при которых движение осуществится с предварительно заданным числом оборотов [c.111]

Таков, например, случай f ф = sin q (маятник, синхронная электрическая машина и т. п.). При этом наряду с задачей о выяснении характера особых точек возникает задача о нахождении сепаратрисс, отделяюш,их на фазовой плоскости области значений начальных условий, отвечающих движениям различных типов. Исследования такого рода получили наибольшее развитие в трудах горьковской школы теории колебаний наряду с цитированными в 4 монографиями, упомянем работы Л. Н. Белюстиной (1954—1966). [c.95]

Вид фазовой плоскости для О < а < aJ показан на рис. 8.13. Зд имеется асимптотически устойчивое положение равновесия у]/ = ф = неустойчивый предельный цикл и устойчивый предельный цикл больш радиуса. Для всех начальных условий, отображаемых точками внутри не тойчивого предельного цикла, колебания маятника затухающие. При чальных условиях, соответствующих любым точкам вне этого цикла. [c.190]

Гамильтониан (13.32), как нетрудно заметить, похож на гамильтониан маятника с массой n doj/dl)j=j в поле тяжести с ускорением g = Ц п dus dl)i=i Vmn- Фазовый портрет, соответствующий (12.32), может быть построен на плоскости (Д/, фтп) или с учетом того, что uj(I) = oj(Ip) + duj/dI)i=i AI, на плоскости фтп)-В дальнейшем будем иногда опускать индексы у фтп и писать просто ф. Иа рис. 13.11 приведены фазовые траектории для двух нелинейных резонансов, которые не взаимодействуют между собой. Область нелинейного резонанса ограничивается сепаратрисами внутри этой области изменение фазы фгпп ограничено (фазовые колебания). Из (13.32) для сепаратрисы находим, что Жу = когда она проходит через точку uj = uj Ip) (это значит, что AI = 0) и фтп = 2f 7r к — целое число). Тогда максимальный размер по I области, ограниченной сепаратрисами, можно найти опять-таки из (13.32) при г пт = [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...