ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные значения эллипса из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Таким образом, формулы, полученные лучевым методом, совпадают с соответствующими асимптотическими формулами, вытекающими из точного решения, лишь при достаточно больших р Причина, по которой при малых р получаются формулы, не совпадающие с точными асимптотическими формулами, уже была нами указана ранее. [c.85] В этом параграфе мы рассмотрим второй пример построения собственных значений лучевым методом. Мы получим собственные значения оператора Лапласа для эллипса, на границе 5 которого выполняется одно из условий (1.2) или (1.3). Как и в 4, считаем, что с = 1, и полагаем а = а/с = к. [c.85] Получим прежде всего собственные значения, которые соответствуют собственным функциям, сосредоточенным в полосе, примыкающей к границе области. Построения, приводящие к соответствующей системе уравнений, будут вполне аналогичны построениям предыдущего параграфа. [c.86] Докажем следующее утверждение, эквивалентное только что сформулированному. [c.86] Теорема. Если М(а, ) — произвольная точка на эллипсе д = а (рис. 19), MB и M — касательные, проведенные из нее к софокусному эллипсу ц=ао, то углы, которые составляют эти касательные с эллипсом i = а, равны друг другу. [c.86] Выбор знаков в формулах (5.5) соответствует семейству лучей, касательных к эллипсу (г = ао и идущих от него к эллипсу ц = а. [c.87] АВМ — длина кривой АВМ. [c.88] следовательно, не зависит от Напомним, что — координата точки М на эллипсе ц = а. Таким образом, длина линии АВМСОА не будет меняться при движении точки М по эллипсу (X = а. В силу постоянства длины кривой АВМСОА вайе равна нулю, т. е. [c.89] Правая часть второго уравнения равна 2яр + Зя/2 в случае условия (1.2) и равна 2яр + я/2 в случае условия (13). Дополнительные слагаемые Зя/2 и я/2 появляются за счет одного пересечения базисной кривой с каустикой и одного — с границей области. [c.91] Лучи Л/[Л 2, N N3, возникающие в результате многократных отражений исходного луча от эллипса (г = . или их продолжения будут касаться ветвей той же самой гиперболы. Аналогичное свойство хорд эллипса (г = а, касающихся софокус-ного эллипса (г = Оо, мы уже доказали в этом параграфе. В случае софокусной гиперболы рассмотрения аналогичны и мы их опускаем. Рассмотрим всевозможные касательные к ветвям гиперболы (5.12). Совокупность этих касательных внутри эллипса образует четыре нормальные конгруэнции (рис. 22). [c.92] Вдоль второй базисной кривой 2 Гц =Поэтому прежде всего следует подсчитать те. Нам потребуется найти выражения для эйконалов т, соответствующих рассматриваемым нормальным конгруэнциям лучей. [c.93] Четыре различных сочетания знаков дают четыре различных значения Ут, соответствующих четырем построенным нормальным конгруэнциям. [c.94] Выбирая некоторым определенным образом пределы интегрирования и произвольные постоянные, мы можем построить функцию т на многоэкземплярном пространстве так, чтобы эта функция сохраняла непрерывность, например, на левой ветви гиперболы (5.12) и верхней дуги эллипса i = a. [c.94] Правая часть первого уравнения равна р + 2я в случае краевого условия (1.2) и равна 2яр в случае условия (1.3), так как базисная кривая Г] пересекает два раза границу области. Дополнительное слагаемое 2я 1/2 в правой части второго уравнения связано с тем, что базисная кривая Гг пересекает каустику (ветви гиперболы (5.12)) два раза. [c.95] Собственные функции. эллипса можно выразить явными формулами, содержащими функции Матье. Из этих формул следует, что любая собственная функция эллипса с достаточно большим номером будет иметь асимптотику одного из двух лучевых типов, которые здесь рассматривались. [c.95] Асимптотика соответствующего собственного числа будет тоже выражаться найденными здесь формулами. Таким образом, методы 1—3 позволяют в случае эллипса найти асимптотическое выражение для всех собственных чисел с достаточно большими номерами. [c.96] Как показывают расчеты ), асимптотические формулы, найденные в этом параграфе, дают хорошее приближение даже для собственных чисел со сравнительно небольшими номерами. [c.96] Подводя итоги, мы можем сказать, что при 1 и сравнительно небольших значениях р собственные функции эллипса Upg, соответствующие собственным значениям kpq, имеют эллиптическую каустику и сосредоточены в окрестности границы области. Чем меньше р, тем меньше, как это следует из уравнения (5.10), должна быть разность а —Оо, т. е. тем тоньше будет эллиптическое кольцо, в котором собственные функции осциллируют и за пределами которого экспоненциально затухают. Такие сосредоточенные в окрестности границы собственные функции мы будем называть собственными функциями типа шепчущей галереи. Если р 1, а q принимает сравнительно небольшие значения, то собственные функции Up, имеют гиперболическую каустику. При этом чем меньше q, тем меньше должна быть разность я/2 — 0о [см. (5.17)], т. е. тем уже будет полоса, окружающая малую ось эллипса, в которой собственные функции осциллируют и вне которой они экспоненциально затухают. В связи с этим собственные функции при р. 1 и 9 = О, 1, 2,. .. могут быть названы собственными функциями типа прыгающего мячика. [c.96] Попутно заметим, что около большой оси эллипса никакие собственные функции не сосредоточиваются. Это обстоятельство связано с тем, что система лучей, возникающая в результате многократных отражений, как мы увидим дальше, устойчива в окрестности малой оси эллипса и неустойчива в окрестности большой оси. [c.96] Вернуться к основной статье