Каустика гиперболическая

Рис. 1.1. Гиперболические каустики, ограничивающие поле гауссова пучка

Эти построения имеют непосредственное отношение к лазерным резонаторам. В случае гиперболических каустик, как мы видели, луч, распространяясь в зеркальном эллипсе, пе выходит из области, ограниченной двумя ветвями гиперболы, поэтому отдельные части зеркального эллипса, например дуги и (52- 2-р2, можно удалить. При этом зеркала пе следует обрывать у самой каустики, поскольку согласно волновой теории поле все же проникает немного за каустику. Таким образом, получается открытый лазерный резонатор, в котором между двумя зеркалами — отрезками зеркального эллипса суш ествует система лучей, ограниченная каустиками. [c.265]

Рис. 7.11. Моды эллиптического резонатора, полученные суперпозицией двух лучевых конгруэнций, движущихся соответственно вверх и вниз и описываемых гиперболическими каустиками с фокусами в точках л- = Ь когда обе каустики вырождаются в линию, лежащую на оси , возникают два мнимых фокуса в точках = /Ь и мода становится гауссовой, а — каустики вырождены в линию, лежащую на оси г б — каустики с фокусами в точках х = Ь в — каустики с фокусами в точках г = /Ь.

Подводя итоги, мы можем сказать, что при 1 и сравнительно небольших значениях р собственные функции эллипса Upg, соответствующие собственным значениям kpq, имеют эллиптическую каустику и сосредоточены в окрестности границы области. Чем меньше р, тем меньше, как это следует из уравнения (5.10), должна быть разность а —Оо, т. е. тем тоньше будет эллиптическое кольцо, в котором собственные функции осциллируют и за пределами которого экспоненциально затухают. Такие сосредоточенные в окрестности границы собственные функции мы будем называть собственными функциями типа шепчущей галереи. Если р>1, а q принимает сравнительно небольшие значения, то собственные функции Up, имеют гиперболическую каустику. При этом чем меньше q, тем меньше должна быть разность я/2 — 0о [см. (5.17)], т. е. тем уже будет полоса, окружающая малую ось эллипса, в которой собственные функции осциллируют и вне которой они экспоненциально затухают. В связи с этим собственные функции при р. 1 и 9 = О, 1, 2,. .. могут быть названы собственными функциями типа прыгающего мячика. [c.96]

Решая систему (5.28), получаем для собственных значений kpq и параметров гиперболической каустики следующие фор- [c.100]

Если 9 = 0, 1, 2,. .., то гиперболическая каустика (ветвь гиперболы (5.12)) будет расположена вблизи малой оси эллипса. Ограниченная каустикой полоса, в которой собственные функции осциллируют и за пределами которой экспоненциально убывают, будет иметь ширину брд, определяемую формулой [c.100]

Наряду с рассмотренными выше лучевыми потоками, ограпичеп-пыми гиперболическими и эллиптическими каустиками, в зеркальном эллипсе суш,ествуют гомоцентрические потоки, расходяш,иеся из фокусов эллипса и после отражения в нем снова сходяш иеся к фокусам. Лучевые потоки такого типа каустик пе имеют и для лазерных резонаторов интереса пе представляют. [c.265]

Для гиперболических каустик инвариантной является разность 82 между длиной линии Р1Б1ВБ2Р2 и суммарной длиной двух каустик РгЗхКх + Рг5 2 2 С учетом скачка фазы на каустике второе фазовое условие для гиперболических каустик имеет вид [c.267]

Как для эллиптических, так и для гиперболических каустик можно получить явные зависимости 51 и 82 от некоторого параметра г. Однако мы сделаем это несколько нозже в качестве частного случая соответствующих трехмерных зависимостей. [c.267]

Вообще говоря, каждая мода, соответствующая определенному значению описывается гиперболической каустикой. При с = О обе ветви гиперболы стремятся прижаться к оси z и поле сосредоточивается вдоль малой оси эллиптического резонатора. Моды с > О занимают большую часть объема резонатора и называк)тся неустойчивыми, в то время как моды с = О называются устойчивыми. Если удалить значительную часть стенок эллиптического резонатора, то это никак не отразится на распределении поля в устойчивых модах (рис. 7.12,а), но сильно повлияет на распределение поля в неустойчи- [c.493]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...