ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача четырех вихрей на плоскости из "Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей " Для определения вещественного типа соответствующей алгебры Ли укажем явный изоморфизм с некоторым лиевым пучком [10, 13]. [c.108] Приведем основные свойства этого подпространства, которые проверяются прямым вычислением. [c.108] Следовательно, соотношения (5.2) задают п-мерное (унитарное) линейное представление алгебры Ли м(п — 1). Таких неприводимых представлений не существует, поэтому оно разлагается в прямую сумму стандартного (п — 1)-мерного представления и одномерного тривиального представления. Это разложение устроено следующим образом. [c.109] Предложение 5.2. Пространство представления V = разлагается в прямую сумму инвариантых подпространств V = Vi V2, где Vi = задается уравнением z + Z2 +. .. +г = О, а одномерное подпространство V2 = С натянуто на вектор zq = 1,1,. .., 1). [c.109] Замечательным является тот факт, что подалгебра L является замкнутой относительно коммутатора [ , -]r-i и, следовательно, семейство коммутаторов (5.3) порождает некоторый лиев пучок на L. Более того, ограничивая на L коммутатор [ , -Jr-b мы получаем алгебру Ли, изоморфную вихревой алгебре Lp (1.10), отвечающей интенсивностям Fi,. .., F . Таким образом, можно установить симметричный изоморфизм между семейством вихревых алгебр и несложным лиевым пучком. Пользуясь этой конструкцией, опишем свойства вихревых алгебр. [c.109] Предложение 5.3. При положительных Г вихревая алгебра изоморфна алгебре и п — 1). [c.110] Кроме того, из приведенного доказательства вытекает следующее важное следствие свойства вихревой алгебры Ли, отвечающей параметрам Г1,. .., Г , полностью определяются свойствами билинейной формы которая является ограничением формы на подпространство Ух = = г +. .. + = 0 (в частности, сигнатурой этого ограничения). [c.111] Пайдем условия, при которых алгебра Ьт компактна, то есть изоморфна алгебре Ли и(Л — 1). В этом случае, все орбиты коприсоединенно-го представления также компактны [5], и, следовательно, компактно также фазовое пространство приведенной системы для задачи п — вихрей, при этом все взаимные расстояния ограничены. Согласно приведенному выше следствию необходимым и достаточным условием компактности является знакоопределенность формы Г . В этом случае имеются следующие возможности (мы предполагаем, что интенсивности конечны и отличны от нуля). [c.111] Отметим еще одно обстоятельство. Подпространство А С Ь, натянутое на векторы Аг п, является подалгеброй для любой алгебры из пучка. Условие ее компактности точно такие же, что и условия компактности для всей Ьт форма должна быть положительно определенной. Поэтому вихревая алгебра Ьт компактна тогда и только тогда, когда компактна подалгебра А. [c.112] Замечание 1. Устройство и условия компактности приведенного фазового пространства можно получить, исследуя (методами аналитической геометрии) совместную поверхность уровня первых интегралов (1.4). Интересно, что алгебраический подход позволяет решить и эту чисто геометрическую задачу. [c.113] Для объяснения происхождения лиевых пучков, связанных с вихревой алгеброй, и описания (сингулярных) симплектических листов, соответствующих фазовому пространству приведенной системы, рассмотрим переход к относительным переменным с точки зрения редукции по симметриям [1, 3, 119]. [c.113] Формула (5.11) определяет отображение на сингулярную симплектиче-скую орбиту алгебры и р,д) (относительно скобки [-,-]г-1), которая определяется еще дополнительно, как поверхность уровня интеграла (1.4). В случае всех положительных (отрицательных) интенсивностей орбита топологически гомеоморфна СР 1, так как при отображении (5.11) склеиваются все точки вида e z — орбиты действия, группы вращения (5.4). [c.114] Интеграл (1.4) J = Г г г — является функцией Казимира, следовательно, выполнена редукция по нему. [c.115] То есть ф А) принадлежат подпространству L, определенному в предыдущем пункте (матрицы (5.11) этому пространству не принадлежат). [c.115] Орбита, задаваемая соотношениями Герона (в компактном случае), после перехода от переменных М, А к стандартным переменным алгебры и п—1) оказывается именно среди указанных выше орбит при некотором А. [c.115] Легко видеть, что отображение (5.14) не зависит от sq, следовательно, si,. ..,s 2, ri,. ..,r 2 задают симплектические кординаты на 2(п - 2)-мерной орбите. [c.116] Замечание 3. Обобщим здесь замечание Арефа [67] относительно того, что геометрический и бифуркационный анализ задачи трех вихрей, а также общие теоремы, доказанные в этом разделе, могут быть естественно перенесены на системы. [c.116] При помощи описанного выше алгоритма укажем явно канонические координаты для задачи четырех вихрей равной интенсивности. [c.117] Вернуться к основной статье