ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Инвариантные торы и квазипериодические движения из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Пример, рассмотренный нами в 19 и 20, представляет собой частный случай общей ситуации, которая встречается для всех систем, близких к так называемым интегрируемым системам . [c.93] Рассматривая интегрируемые задачи в классической механике , мы обнаруживаем, что для каждой из них ограниченные траектории либо периодические, либо квазипериодические. Иначе говоря, фазовое пространство расслоено на инвариантные торы, несущие квазипериодические движения. [c.93] Например, движение свободной точки по геодезическим на трехосном эллипсоиде или торе (см. 1.7, гл. 1 и приложение 2), тяжелое твердое тело (случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской) и т.д. [c.93] Выберем вектор несоизмеримых частот си = си. Пусть То со ) — инвариантный тор невозмущенной системы (21.3), имеющий уравнение р = р у где соо р ) = о . Тогда система (21.3) имеет на торе То со ) частоты и). [c.95] Теорема 21.7. Если возмущение Н1 достаточно мало, тогда при почти любом с существует инвариантный торТ и ) возмущенной системы (21.5), и тор Т(с ) близок к То (с ). [c.95] Кроме того, торы Т(о ) образуют множество положительной меры мера дополнения к этому множеству стремится к нулю вместе с Hi. Доказательство теоремы 21.7 можно найти в работе Арнольда [5]. [c.96] Теорема 21.7 применима к движению свободной точки по геодезической на поверхностях, близких к поверхностям вращения или эллипсоидам, Эта теорема позволяет доказать устойчивость тланетоида в ограниченной плоской круговой задаче трех тел . Из нее можно также вывести устойчивость быстрых вращений тяжелого несимметричного твердого тела . [c.96] Леонтович [1] доказал устойчивость периодических лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел плоской и круговой). [c.97] Образование новых частот после возмущения вырожденных систем исследовано в работах В. И. Арнольда [8], [9], [10]. В качестве следствия доказана вечная адиабатическая инвариантность действия при —(X) i 00 в нелинейных системах с одной степенью свободы, параметры которых изменяются периодически, а также что магнитная ловушка с осесимметричным магнитным полем может бесконечно долго удерживать заряженные частицы. [c.97] Наконец, в задаче п тел получено множество квазипериодических движений положительной меры для случая, когда массы п — 1 тел достаточно малы по сравнению с массой центрального тела . Эти квазипериодические движения имеют планетарный характер эксцентриситеты и наклонения кеплеровских (оскулирующих) эллипсов малы, и длины больших всегда остаются близкими к своим начальным значениям (см. В. И. Арнольд [4]). [c.97] Предположим, что В р, g —) р р, g), q p, g) — глобальное каноническое отображение, т. е. [c.98] Пусть А Р, д —р, д + р) — каноническое отображение, заданное функцией и) р), аналитической в [И] и Го (а ) — тор р -и р ) = о , инвариантный относительно А. [c.98] Теорема 21.11. Если отображение В достаточно близко к тождественному, то почти при любом и существует торТ[ш ), инвариантный относительно В А и близкий к Tq uj ). [c.99] Кроме того, торы Т(а ) образуют множество положительной меры, дополнение к которому имеет меру, стремящуюся к нулю вместе с У — р + — д . Теорема 19.10 непосредственно следует из теоремы 21.11 при п = 1. [c.99] Теорема 21.11 известна с 1954 года, хотя ее доказательство никогда не было опубликовано. Ю. Мозер [1] дал ее доказательство для случая отображений плоскости (гг = 1). В этом доказательстве используется топология Е . Доказательство теоремы для произвольного п см. в приложении 34 топологическая часть сводится к методу производящих функций глобальных канонических отображений (см. приложение 33). [c.99] Неизвестно, можно ли построить любое каноническое аналитическое преобразование, близкое к А, используя сечение подходящей гамильтоновой системы. Следовательно, теорему 21.11 невозможно вывести из теоремы 21.7. [c.99] что эти последние два условия независимы. Каждое из них достаточно для существования инвариантных торов. Кроме того, второе условие гарантирует наличие инвариантных торов на любом уровне энергии, что влечет за собой устойчивость (см. рис. 19.21) в случае двух степеней свободы (п = 2 в теореме 21.7, п = 1 в теореме 21.11). [c.100] Кроме того, в приложениях оба условия (21.13) либо одновременно выполняются, либо ни одно из них не справедливо. [c.100] Вернуться к основной статье