Разложение представлений на неприводимые (приведение представлений)

Так как выражение (62.15) дает полную систему характеров для прямой суммы допустимых неприводимых представлений группы к ), то, согласно теореме Машке, эта система характеров приводима. Чтобы подчеркнуть отличие этого случая от рассматривавшихся ранее случаев разложения прямого произведения полных представлений, мы введем специальное обозначение + й, тт I к"т") для коэффициентов приведения для подгрупп. Их определение следует из (62.15) [c.164]

Разложение представлений на неприводимые (приведение представлений) [c.43]

В приложениях теории групп часто оказывается известным какое-то приводимое представление группы (например, полученное путем применения операций симметрии к некоторой пробной функции) и нужно разложить это представление на неприводимые. Оказывается, что для решения этой задачи достаточно знать характеры неприводимых представлений. Пусть некоторое представление распадается на неприводимые представления ( ), причем каждое нз них встречается в разложении 01 раз. Записывая соответствующие матрицы в приведенной форме, т. е. в виде [c.43]

В приведенном выще примере первое действие обладает этим свойством, а второе—нет. Оба траекторных разбиения (по теореме 1.2) —не ручные. Проверку этих свойств нетрудно провести, используя разложения представления на неприводимые. [c.103]

Чтобы найти полный набор неприводимых представлений группы можно действовать систематическим образом, используя алгебру группы над комплексным полем [3, 22]. Таким методом можно выполнить приведение или разложение этой алгебры на прямую сумму простых двусторонних идеалов ). При разложении возникает операторов обладающих свойством [c.57]

Для определенности рассмотрим коэффициенты приведения из (55.4), а именно ( 1 т к т к"т"). Эти коэффициенты возникают при разложении обычного прямого произведения двух различных неприводимых представлений пространственной группы. Рассмотрим пространство (53.5). Типичная функция пространства (53.5) имеет вид [c.142]

При определении коэффициентов приведения методом полной группы следует предварительно построить таблицы характеров полной группы. Таким образом, мы будем располагать характерами ( Фр р ) каждого элемента пространственной группы для любого неприводимого представления. Тогда разложение прямого произведения двух неприводимых представлений полной пространственной группы на неприводимые составляющие можно выполнить так же, как для любой конечной группы. Коэффициенты приведения для полной группы можно получить прямо из соотношений (55.4) или [c.167]

Применение коэффициентов приведения для полной группы означает, что мы используем полные неприводимые представления группы . В частности, это значит, что при выполнении разложения может возникать и обычно возникает больше чем одна звезда к". [c.168]

Выполнение расчета методом полной группы включает построение по формулам (37.3) или (49.3) набора таблиц характеров полной группы. Это предполагает, что выполнено приведение в каждой группе к) канонического вектора к каждой звезды. После того как построены таблицы и выполнено разложение, мы получим все неприводимые представления, содержащиеся в прямом произведении 0 < > В общем случае конечный результат содержит полные представления, относящиеся к нескольким разным звездам. [c.168]

Что же касается метода линейных алгебраических уравнений, то мы видим, что для данной задачи приведения в рамках метода полной группы он представляет экономную процедуру для выполнения разложения. Иначе говоря, необходимо вычислить минимальный независимый набор характеров неприводимых представлений полной группы. Число необходимых характеров строго ограничено числом неизвестных коэффициентов приведения, т. е. конечным, малым числом. Например, в рассматриваемом случае нужно найти 20 коэффициентов. Все они полностью определяются не более чем пятнадцатью независимыми характерами для каждого из неприводимых представлений. Используя таблицы характеров для тех же 15 элементов, но с включением несобственных поворотов, т. е. комбинируя повороты с операцией инверсии , можно осуществить приведение любых произведений ( ) )( Л-) (тО, [c.121]

Старшие векторы неприводимых представлений в обобщенных углах Эйлера. Приведенные в предыдущих пунктах этого параграфа выражения для старших векторов справедливы для любого разложения элемента группы. Вместе с тем именно в рамках универсальной параметризации (см. 1.6) для них удается получить факторизованные по групповым параметрам формулы. [c.70]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Содержание монографии естественным образом делится на две части. Поэтому в русском издании она выпущена в двух томах. В первом томе излагается общая теория пространственных групп, рассматриваются методы их применения, а также вопросы динамической теории кристаллов. Основное внимание уделяется задаче разложения представлений на неприводимые составляющие, являющейся основой физических лрименений теории групп. Подробно излагаются и сопоставляются два различных метода вычисления коэффициентов приведения метод линейных алгебраических уравнений и метод группы приведения. Такой способ изложения обладает несомненной педагогической ценностью, предоставляя читателю свободу действий при выборе метода или при проверке результатов. [c.6]

Этот метод нахождения коэффициентов приведения, основанный на исходном определении коэффициентов приведения (55.1) или (55.3), обладает полной общностью, и его можно применять для любой пространственной группы, как симморфной, так и несимморфной. Этот метод можно назвать методом линейных алгебраических уравнений, и его можно с таким же успехом использовать в случае, когда одна из звезд или все звезды в разложении имеют высокую симметрию (т. е. когда группа (В (к) высокого порядка) либо когда они имеют низкую симметрию. Согласно общей теореме единственности разложения представления на неприводимые составляющие, решение уравнений [c.148]

Как было отмечено в 18, нахождение коэффициентов приведения составляет только часть задачи о разложении прямого произведения двух неприводимых представлений. Заключитель- [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...