Общие криволинейные, цилиндрические и сферические координаты

Расположение точки в трехмерном пространстве (по отношению к некоторой точке, выбранной за начало) обычно определяется ее тремя декартовыми координатами х, у, z или, что то же, заданием радиуса-вектора R этой точки. Часто более удобно описы вать положение точки в другой системе координат, более подходящей для рассматриваемой задачи примерами таких систем могут служить сферические и цилиндрические системы координат. Но этими координатами не ограничивается круг криволинейных координат, общие свойства которых подробно изучаются в этой главе. [c.547]

Исходный и взаимный базисы. В общем случае координаты являются криволинейными (например, сферическими или цилиндрическими) с векторным базисом, который в отсчетной конфигурации образуется тройкой некомпланарных векторов [c.12]

Рассмотрим в виде упражнения вывод уравнения неразрывности в цилиндрических, сферических и общих криволинейных ортогональных координатах. [c.27]

Для описания встречающихся в теории упругости векторных и тензорных величин будут параллельно применяться обычная в технической механике форма записи, а также тензорная форма записи, в которой уравнения имеют компактный вид. Но при этом будем ограничиваться тензорами в декартовых координатах, а общее описание в произвольных криволинейных координатах с помощью тензорного исчисления использоваться не будет. Там, где это представляется необходимым, будут применяться цилиндрические и сферические координаты, а иногда отдельные уравнения будут формулироваться в так называемой векторной форме записи (которая во многих разделах механики сплошной среды сегодня является обычной). Физическое содержание теории всегда будет ставиться на передний план и не затемняться математическим формализмом. [c.10]

Часто весьма целесообразно оперировать основными уравнениями теории упругости в криволинейных ортогональных системах координат. Правда, это требует применения тензорного исчисления в общей форме, от которого в этой книге сознательно отказываются. Однако необходимые для дальнейшего основные соотношения для наиболее часто встречающихся криволинейных координат — цилиндрических и сферических приведены без вывода К [c.71]

Координаты q в общем случае являются криволинейными (сферическими, цилиндрическими и т. п.), векторный базис не конкретизируется, что в сочетании с используемыми прямыми обозначениями тензоров определяет общий характер приводимых результатов и дает возможность применить получаемые формулы при исследовании тел цилиндрической или сферической формы. [c.11]

Сферические, цилиндрические, полярные, декартовы, общие декартовы, прямоугольные, гауссовы, прямолинейные, криволинейные, обобщённые, географические, геодезические, небесные, дуговые, нормальные, циклические, простейшие, аффинные, барицентрические, биполярные, тангенциальные, однородные, трилинейные, треугольные, проективные, косоугольные, однородные, плоккеровы. .. координаты. [c.32]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

В 6 изложен, как нам представляется, наиболее простой приём составления основных дифференциальных операций в криволинейных координатах. Мы ограничились случаем ортогональных координат, как наиболее важным для приложений. В 7 этот приём применён для записи в ортогональных криволинейных координатах основных соотношений механики сплошной среды, в том числе для составления условий сплошности. Другой вывод условий сплошности (в любых криволинейных координатах) дан в статьях Т, Н. Блинчикова Дифференциальные уравнения равновесия теории упругости в криволинейной координатной системе (Прикл. матем. и мех., 2, 1938, стр. 407) и В. 3. Власова Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных координатах (там же, 8, 1944, стр. 301). Запись уравнений сплошности в сферических и цилиндрических координатах приведена в книге В. 3. Власова Общая теория оболочек (Гостехиздат, 1949). [c.69]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...