Модель Фридрихса-Фаддеева

МОДЕЛЬ ФРИДРИХСА—ФАДДЕЕВА [c.146]

Любой самосопряженный оператор Яо с абсолютно непрерывным спектром постоянной (возможно, бесконечной) кратности может быть реализован (см. 1.5) как оператор умножения на независимую переменную (Л) в гильбертовом пространстве Ь2 д ()). Здесь —сердцевина спектра оператора Яо, — вспомогательное гильбертово пространство, размерность которого равна кратности спектра. В модели Фридрихса-Фаддеева рассматривается случай, когда = а—замкнутый интервал, а возмущение V оператора Яо является интегральным оператором с гладким ядром г (Л, / ). В рамках этой модели удается не только построить теорию рассеяния, т.е. доказать существование и полноту ВО Ж (Я, Яо) (отвечающих 7 = /), но и проверить отсутствие у оператора Н = Но V сингулярного непрерывного спектра. [c.146]

Дадим точное описание модели Фридрихса—Фаддеева. [c.147]

РАССЕЯНИЕ В МОДЕЛИ ФРИДРИХСА—ФАДДЕЕВА [c.156]

Здесь результаты 1 применяются для стационарного построения теории рассеяния в модели Фридрихса—Фаддеева. В этой модели ВО представляются сингулярными интегральными операторами. Эти представления отличаются по форме от представлений 2.7, но эквивалентны им. В связи с [c.156]

Представление (17) для матрицы рассеяния является, разумеется, реализацией в рамках модели Фридрихса—Фаддеева равенства (2.8.11). Что касается ВО, то в совпадении операторов (1) со стационарными ВО 2.7 можно убедиться следующим образом. В силу второго равенства (2.7.10) соотношение (2.7.5) можно записать в виде [c.163]

Разумеется, точечный спектр—самая неустойчивая компонента. Дело в том, что собственные значения самосопряженного оператора, вообще говоря, сдвигаются при сколь угодно малых одномерных возмущениях. В то же время в специальной обстановке и эта компонента может обладать определенной устойчивостью. Так, согласно теореме 4.1.7 при достаточно малых константах связи е гамильтониан — Но + еУ в модели Фридрихса—Фаддеева собственных значений не имеет.Тем самым точечная компонента сохраняется (отсутствует). [c.243]

При Яо = Яоо оператор Я = Яо+V сводится к гамильтониану модели Фридрихса—Фаддеева (см. 4.1, 4.2) в пространстве 2 (М+ />2( )) при ё > I и в 2(К) при с/ = 1. Однако ядро отвечающего (2) интегрального оператора заведомо не удовлетворяет указанным в конце 4.2 требованиям убывания на бесконечности. Таким образом, теорема 2 не вытекает из результатов гл. 4 даже в частном случае Яо = Яоо- Данное в п. 1 доказательство теоремы 2 учитывает осцилляцию ядер операторов (2) на бесконечности. Характерно, что относительно невозмущенного оператора ядерная техника потребовала лишь информацию о его области определения. [c.271]

Аналогичные замечания справедливы и в условиях теоремы 5. В условиях теоремы 4 применение методов модели Фридрихса—Фаддеева и признака Кука требует, чтобы число а в (11) было достаточно большим и, конечно, чтобы Но = Яоо- [c.271]

Рассмотрим теперь одномерное возмущение в рамках модели Фридрихса—Фаддеева (см. 4.1). Будем считать, что Но—умножение на независимую переменную в П = 2(< ), = а, 6], вспомогательное пространство i) = С, Ну = Но [c.276]

Оправдание (9) требует существенных дополнительных предположений типа гладкости . Более того, уже дифференцирование 5(A) по А предполагает, что выбрано отождествление пространств ()о(А) в прямом интеграле (2.4.2). Вместе с тем в применениях к дифференциальным операторам и в модели Фридрихса—Фаддеева обычно реализуют (см. работы [c.352]

По существу эта глава распадается на две независимые части, составляемые 1,2 и 3 7. В первых двух параграфах изучается модель Фридрихса—Фаддеева, в которой рассматривается возмущение оператора умножения интегральным оператором с гладким матричным ядром. Применение стационарного метода требует исследования резольвенты полного гамильтониана. Такое исследование проводится в 1 с помощью подходящего интегрального управления. Важно, что во вспомогательном банаховом пространстве гельдеровских вектор-функций это уравнение оказывается фредгольмовым. В 2 в рамках модели Фридрихса—Фаддеева реализуется стационарная схема 2.7, 2.8. [c.145]

В приложениях гладкость по отношению к невозмущенному оператору Яо обычно удается проверить прямыми выкладками. Напротив, изучение гладкости относительно полного гамиль-. тониана Я представляет собой содержательную задачу. В б излагается методика, позволяющая для относительно компактных возмущений сводить вопрос об Я-гладкости С к исследованию Яо-гладкости операторов Со и С. Правда, Яо-гладкость приходится при этом понимать в некотором усиленном смысле. В 7 методика б используется для изучения сингулярного спектра оператора Я. В значительной мере б,7 основаны на соображениях, развитых в связи с.моделью Фридрихса— Фаддеева. Однако в отличие от 1, 2 предположения делаются не о самом возмущении У, а о сомножителях Со и С из соотношения V = С "Со. Благодаря этому удается избежать введения вспомогательного банахова пространства. [c.146]

Следующее утверждение вполне аналогично лемме 1.4. Его можно также рассматривать как распространение предложения 1.9.6 на случай собственных значений, лежащих на непрерывном спектре. Связь решений / уравнения 1) и собственных функций ф оператора Н устанавливается опять равенствами вида (1.10.8). Сейчас нам придется считать, что показатель а в определении 4.5 усиленной Яо-гладкости оператора С больше 1/2. До некоторой степени это условие играет роль предположения о гельдеровости с показателем больше 1/2 ядра г>(А,//) в модели Фридрихса—Фаддеева. [c.189]

В спещ1альной обстановке сингулярно непрерывная компонента может обладать определенной устойчивостью. Так, в модели Фридрихса—Фаддеева сингулярный непрерывный спектр сохраняется (отсутствует у обоих операторов Яо и Я), если ядро возмущения достаточно гладкое (см. следствие 4.2.2). Предположение о гладкости лежит здесь в существе дела. Без [c.242]

Стационарные унитарно-инвариантные представления для основных объектов теории рассеяния появились (при J — I) в контексте ядерного подхода в статьях М.Ш.Бирмана и С.Б.Энтиной [49]. Несколько иные, но формульно эквивалентные представления получались [79] и в рамках модели Фридрихса—Фаддеева. Позднее в аксиоматических схемах формульные представления были отделены от конкретных [c.403]

Техника [120, 114] основана на факторизации возмущения, применявшейся в ядерной теории. Близкие к [120, 114] результаты получены также Лж,Хоулендом [102] и П,Рейто [135. Однако в [102, 135] условия на возмущение формулировались в терминах вспомогательного банахова пространства. Такой прием по существу эквивалентен факторизационной технике, но относительно ближе к модели Фридрихса—Фаддеева. [c.405]

Объединить подходы К.Фридрихса и А.Я.Повзнера удалось О.А.Ладыженской и Л.Д.Фаддееву [68] и Л.Д.Фаддееву [79. В [68, 79] установлены существование и полнота ВО в модели Фридрихса, но без условия малости возмущения. Аксиоматизация развитого в [73, 74, 68, 79] подхода привела к созданию унитарно-инвариантной теории гладких возмущений. В связи с гладким методом в теории рассеяния отметим в первую очередь работы Т.Като [109, 112. [c.401]

Как уже отмечалось, доказательство существования и полноты ВО для возмущения оператора умножения интегральным оператором с гладким ядром было дано К.Фридрихсом [96, 97] в предположении малости ядра. Общая теория построена Л.Д.Фаддеевым в [79], где разработана техника обращения с сингулярными интегралами. Термин модель Фридрихса введен Л. Д.Фаддеевым. Наше изложение в 1, 2 довольно близко следует [79]. Впрочем, рассмотрение случая, когда показатель гельдеровской непрерывности ядра меньше или равен 1/2, в литературе найти не удалось. С оригинальным методом К.Фридрихса и развивающими его работами (отметим, например, статьи П.Рейто [134, 135]) можно познакомиться по книге [c.404]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...