ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Модель Фридрихса-Фаддеева из "Математическая теория рассеяния Общая теория " В приложениях гладкость по отношению к невозмущенному оператору Яо обычно удается проверить прямыми выкладками. Напротив, изучение гладкости относительно полного гамиль-. тониана Я представляет собой содержательную задачу. В б излагается методика, позволяющая для относительно компактных возмущений сводить вопрос об Я-гладкости С к исследованию Яо-гладкости операторов Со и С. Правда, Яо-гладкость приходится при этом понимать в некотором усиленном смысле. В 7 методика б используется для изучения сингулярного спектра оператора Я. В значительной мере б,7 основаны на соображениях, развитых в связи с.моделью Фридрихса— Фаддеева. Однако в отличие от 1, 2 предположения делаются не о самом возмущении У, а о сомножителях Со и С из соотношения V = С Со. Благодаря этому удается избежать введения вспомогательного банахова пространства. [c.146] Любой самосопряженный оператор Яо с абсолютно непрерывным спектром постоянной (возможно, бесконечной) кратности может быть реализован (см. 1.5) как оператор умножения на независимую переменную (Л) в гильбертовом пространстве Ь2 д ()). Здесь —сердцевина спектра оператора Яо, — вспомогательное гильбертово пространство, размерность которого равна кратности спектра. В модели Фридрихса-Фаддеева рассматривается случай, когда = а—замкнутый интервал, а возмущение V оператора Яо является интегральным оператором с гладким ядром г (Л, / ). В рамках этой модели удается не только построить теорию рассеяния, т.е. доказать существование и полноту ВО Ж (Я, Яо) (отвечающих 7 = /), но и проверить отсутствие у оператора Н = Но V сингулярного непрерывного спектра. [c.146] При компактности ядра v X,fi) в i) и его равномерной ограниченности по A,/i Е (т оператор V компактен в Я. Поэтому на основании теоремы Г. Вейля существенный спектр оператора Н = Hq V совпадает со спектром t Hq) = а оператора Hq, в частности, вне отрезка а спектр Н исчерпывается конечнократными собственными значениями, накапливающимися разве лишь к концам а и Ь. Теория рассеяния позволяет изучить структуру спектра оператора Н значительно детальнее. [c.147] Отметим, что согласно классическому результату Фредгольма (см. [7]) при Ао 1/2 и dim f) оо условие (2) обеспечивает ядерность оператора V = V. Однако при dim f) — оо ядерная теория рассеяния к рассматриваемой модели заведомо неприменима. [c.147] Из теоремы 1 нетрудно извлечь, что, помимо собственных значений, спектр оператора Я может содержать лишь абсолютно непрерывную компоненту. Обсуждение этого момента откладывается до 2. [c.148] Из устанавливаемой далее разрешимости этого уравнения при шг фй следует, что интегральный оператор с ядром 1 Х, г) удовлетворяет уравнению (8). Поэтому такой оператор совпадает с Т г), т.е. и в самом деле Т г)—интегральный оператор с ядром (A,/i г). [c.148] Здесь V—вектор-функция г (-) = /л)(р, t z)—вектор-функция t z) = t(-,/i]z)(pj а A z) = —VRq z)—интегральный оператор с ядром —v , I/) и — z) . Мы будем рассматривать уравнение (10) во вспомогательном банаховом пространстве гельдеровски непрерывных функций. Важно, что на основании теоремы 1.2.6 уравнение (10) распространяется в этом пространстве по не-прерывносаи на все z G П. [c.149] Полагая здесь Л = а (или а — 6) и учитывая условие (3), получим также оценку для самой функции (A z)f) X). Оценка для первого слагаемого в левой части (13) показывает, что оператор A z) при всех Z Е и переводит пространство q в q , где ai—произвольное число, меньшее ао . Учтем еще, что операторы v(A,/i) компактны в при всех , fiE r, а s—произвольно. [c.150] Лемма 2. При z Е И и любых а ао, ai ао оператор A(z) q q компактен. Оператор-функция A(z) голоморфна по z на открытом множестве p Hq) и гельдеровски непрерывна с показателем 7 = (ао — ai)aaQ по z EU. [c.150] Лемма 3. Пусть q Е сг и f = Л(Ло iO)f. Тогда /(Ао) — 0. [c.150] Из леммы 4 безусловно вытекает, что множество 91 может лежать только на вещественной оси. [c.152] О Конечнократность собственных значений (в том числе лежащих на непрерывном спектре) оператора Н—прямое следствие леммы 4 и компактности оператора А г). [c.152] Отсюда вытекает, что уравнение (9) разрешимо, а функция гельдеровски непрерывна по первой переменной с любым показателем а о. Ввиду равенства симметрии (7) то же верно и в отношении. . .дкости по второй переменной. [c.153] Поскольку оператор I — A z )) ограничен в пространстве q при сколь угодно малом ai, сравнивая (18) и (19), найдем, что ядро t(X,fj ]z) гельдеровски непрерывно по z с любым показателем 7 ао. [c.153] Если вместо (3) выполнено равенство v X,a) = v(a, .t) = О, то исключать из рассмотрения надо только точку 6, Собственные значения Н также могут накапливаться только к этой точке. [c.154] Остановимся теперь на обобщении теоремы 1 на случгш, когда условие (2) выполняется лишь при каком-либо о 0. Это потребует применения результатов 1.8. Предположение (3) сейчас также опускается. [c.154] Отметим, что при исследовании собственных значений оператора Н, лежащих вне сг, можно было бы сослаться на теорему 1,8.2. Впрочем, вся полученная информация о дискретном спектре вытекает и из теоремы Г. Вейля. [c.156] При условиях (2) и (3) утверждение теоремы 7 заведомо справедливо для оператора — Но -Ь sVесли е достаточно мало. [c.156] Вернуться к основной статье