ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные функции типа шепчущей галереи из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " В этом параграфе мы рассмотрим важный и наиболее простой пример применения лучевого метода в малом. [c.102] Основную роль в построениях данного параграфа играет система лучей, возникающая вблизи границы области Q в результате многочисленных отражений от S. Оказывается, эта система обладает свойством устойчивости по первому приближению. Определим точно это весьма важное для дальнейшего понятие. [c.102] Пусть (рис. 24) Л/о — некоторая произвольно выбранная точка на границе S, для которой s = So и О So L. Проведем в точке No хорду NqNi области Q, образующую с касательной к 5 в точке Nq угол скольжения ео (О ео я/2). Примем хорду NqNi за исходный луч, в результате последовательных отражений которого в точках Ni, N% Nm возникает система многократно отраженных лучей Л ,-Л +ь / = 1, 2,. .., т. Будем считать, что точкам отражения Nj соответствуют значения длины дуги 5 = Sj (5о Sj 00), / = 1, 2,. .., m,. .. [c.102] Систему многократно отраженных лучей мы будем называть устойчивой по первому приближению, если выполняется более жесткое условие для каждого фиксированного значения 5 существует такое 6(5 ), что для всех ео б(5 ) относительное отклонение луча е /ео в точке М удовлетворяет неравенству е /бо К, где постоянная К не зависит от разности 5 — 5о и определяется только свойствами контура 5. [c.103] Поскольку мы предполагаем, что 0 р(5) оо, величина ро/рт остается ограниченной, откуда и следует устойчивость по первому приближению ). [c.106] Однако для вычислений главы 11 последнего равенства было бы недостаточно, именно поэтому мы наложили на контур 5 брлее я есткое условие гладкости Р доказади (1.8). [c.106] Переходим теперь к построению замыкающейся конгруэнции лучей первого приближения. Такая конгруэнция будет нами построена из устойчивой по первому приближению системы многократно отраженных контуром 5 лучей, которые удовлетворяют закону отражения лишь в главных членах. При этом мы будем опираться на аналогию между рассматриваемой задачей и задачей о собственных функциях шепчущей галереи для круга. [c.107] В первом приближении лучи этой совокупности инвариантны относительно отражений от контура 5, т. е. при отражении любого луча этой совокупности возникает луч, принадлежащий той же совокупности. [c.107] Действительно, с точностью до поправочных членов, из (1.8) следует, что произведение не зависит от т. Построим огибающую этой совокупности лучей. Введем координаты з и точки М, где и —длина нормали MN, опущенной из точки М на контур 5, и з—длина дуги кривой 5, отсчитанная от некоторой начальной точки до основания нормали N. Мы будем считать и О для точек, принадлежащих области О. Система координат (5, п) регулярна в полосе рпип, содержащей контур 5 внутри себя. [c.107] Отметим, что уравнение огибающей (1.14) не содержит членов третьего порядка относительно к. [c.108] Совокупность лучей (1.9) с огибающей (1.14) аналогична системе лучей, многократно отраженных границей круга (см. 4 гл. 3). Поэтому нормальные конгруэнции лучей в рассматриваемом случае строятся тем же способом, что и в случае круга. Однако теперь это будет не точная замыкающаяся конгруэнция, а лишь замыкающаяся конгруэнция первого приближения. [c.108] Р+- содержат корень /р функции Эйри За-ГЗя /, ЗМ2/3 . . [c.110] Изучая собственные функции эллипса, мы установили, что у эллипса существует подпоследовательность собственных функций, сосредоточенных в окрестности малой оси. Собственные значения, соответствующие этим собственным функциям, определялись в первом приближении только через длину малой оси эллипса и радиус кривизны эллипса в точке его пересечения с малой осью. [c.110] Это наводит на мысль, что эти собственные функции имеют локальный характер и их асимптотика не изменится при гладкой деформации дуги эллипса вне точек пересечения его с малой осью. Естественно поэтому ожидать, что подпоследовательности собственных функций, обладающие аналогичными свойствами, существуют и в случае произвольных областей. [c.110] Рассмотрим плоскую область О, ограниченную достаточно гладкой кривой 2. Наша ближайшая задача построить в О систему многократно отраженных лучей, устойчивую по первому приближению и аналогичную системе лучей эллипса, ограниченной софокусными гиперболами. [c.111] ЛУЧЕВОЙ МЕТОД 3 МАЛОМ. [c.112] Очевидно, Ут при фиксированном т стремится к нулю при бо- 0. Если, кроме того, для всякого фиксированного т можно найти такое б(т) 0, что при ео Сб(т) относительное отклонение луча К в /С, где постоянная К не зависит от т, систему лучей (2.1) будем называть устойчивой по первому приближению. [c.112] В 5 главы 3 было установлено, что собственные функции эллипса сосредоточиваются только в окрестности малой оси эллипса и не сосредоточиваются в окрестности большой оси. Естественно связать это обстоятельство с тем фактом, что в окрестности большой оси эллипса не существует устойчивой системы лучей. [c.114] В дальнейшем мы будем рассматривать только устойчивые по первому приближению системы лучей, и только с ними связанные подпоследовательности собственных функций. [c.114] Перейдем теперь к построению замыкающихся конгруэнций лучей. Основой для наших построений будет служить совокупность лучей (2.2). Б дальнейшем мы будем считать, что параметры лучей и j при отражении испытывают линейное преобразование (2.5). Таким образом, замыкающиеся конгруэнции, которые мы построим, будут сотканы не из истинных отраженных лучей, а из лучей первого приближения. [c.114] Вернуться к основной статье