ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные функции типа шепчущей галереи из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " В этом параграфе при помощи выражений (3.4) будут получены асимптотические формулы для собственных значений некоторых краевых задач и выписаны приближенные формулы для соответствующих им собственных функций. [c.174] Рассмотрим сначала задачу о собственных значениях и собственных функциях уравнения Гельмгольца (1.1), удовлетворяющих на границе 5 области 2 условию (1.2). Будем считать, что в точках границы 5 выполнено неравенство (2.1). Нас будут интересовать только те собственные функции, которые сосредоточены вблизи границы области. [c.174] Равенство (4.1) должно выполняться тождественно относительно 0. Оно определяет оставшиеся до сих пор произвольными свободные члены Рт( ,0)= Рто( ) полиномов Рт( ,у). [c.174] Числа 1о, tu к,. .. — нули функций Эйри v —i). [c.174] Таким образом, если P(s) 0, решения Up s,v) сосредоточены в полосе, расположенной при отрицательных значениях нормали, т. е. справа от кривой 5, как раз там, где происходит наложение волн, многократно отраженных границей. Слева от кривой 5 сосредоточенных решений построить не удается, какое бы мы решение уравнения Эйри вместо функции v Z) в формуле (4.5) ни выбирали. [c.176] Можно показать, что и все прочие нечетные коэффициенты разложения (4.9) равны нулю. Формулы (4.9) и (4. 0) определяют асимптотику собственных значений ар, g при Л. Отметим, что второй индекс р входит в выражение собственных значений Ир, q только через посредство Роо == —tp — корня функции Эйри v t). [c.177] Здесь Ар, g не зависит от s и v, а величины P(s), Q(s), а , U4 определены формулами (4 8), (2.1), (3.37) и (4.10). [c.178] Эти значения совпадают с соответствующими коэффициентами в формуле (2.8) для собственных значений круга. [c.178] Дальнейшие уравнения (4.14) позволяют определить и все прочие функции Pmo(s)- В свою очередь функции Pmo(s) позволяют вычислить полностью свободные члены полиномов т. е. функции то(s). [c.179] Чтобы получить приближенные выражения для собственных функций задачи Неймана, следует найденные значения Шр.д подставить в формулу (3.41). [c.180] Здесь 1 (5) —положительная функция, описывающая поглощение волн границей области. Обычно безразмерную величину 1/со з) з) называют нормальным импедансом границы. [c.180] Вернуться к основной статье