ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пути возникновения странных аттракторов из "Введение в теорию колебаний и волн " Этот результат получен именно для ситуации, представленной на диаграмме (см. рис. 22.14). Если минимальное число импульсов в цуге равно По (а не пяти, как в рассмотренном случае), то вместо (22.15) будем иметь Р п, По) п — щ + l)i/ f . Построенные с помощью этой формулы распределения числа импульсов в цуге довольно хорошо описывают статистику импульсов реального генератора. [c.477] В настоящее время предложено и подробно исследовано большое число генераторов стохастических автоколебаний (см., например, [35, гл. 9]). В частности, подробно изучен теоретически и экспериментально так называемый генератор с инерционной нелинейностью (впервые термин был введен в [42]), в котором автоколебания возникают за счет безынерционной положительной обратной связи, приводящей к отрицательному сопротивлению, а их ограничение за счет нелинейного инерционного взаимодействия между динамическими переменными (см. книги [35, 39] и библиографию к ним). [c.477] В этом параграфе мы обсудим наиболее типичные пути возникновения странных аттракторов в системах с трехмерным фазовым пространством. [c.477] Многие из интересующих нас переходов описываются в рамках одномерных отображений. С их обсуждения мы и начнем, памятуя о том, что к одномерным отображениям вблизи границы возникновения стохастичности могут быть сведены и некоторые многомерные системы (см. гл. 23). [c.478] Последовательные удвоения периода. Вернемся к отображению (рис. 22.66) Хк+1 = Ьхк 1 — Хк), где параметр Ь лежит в интервале О Ь 4. [c.478] К такому отображению сводятся многие трехмерные системы, в частности система, аттрактор которой имеет вид расширяющейся ленты, образующей складку, и затем замыкающейся на себя (рис. 22.16). Для координаты р на секущей получается отображение, как на рис. 22.66. [c.478] При любом Ь у этого отображения имеется неподвижная точка Хк+1 = Хк = X = О, а при Ь 1 — еще одна х = 1 — 1/Ь. Эта точка устойчива вплоть до Ь = 3. При Ь 3 нетривиальная неподвижная точка становится неустойчивой мультипликатор (1хи+1/(1хи в этой точке переходит через значение —1 и возникает устойчивое периодическое движение периода 2. Этому соответствует появление двух действительных корней в уравнении хи+2 = хи- Однократная неподвижная точка не исчезает, но она становится неустойчивой. Двукратный цикл устойчив в интервале изменения параметра 3 Ь 3,45. Когда Ь и 3,45 двукратный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый четырехкратный цикл. Дальнейшее увеличение Ь приводит к тому, что он теряет устойчивость и возникает устойчивый цикл периода 2 , затем периода 2 ,. .., 2 , 2 +1 и т. д. Наконец, при 3,57 устойчивых периодических движений не остается и происходит переход к стохастичности. В трехмерном фазовом пространстве этому соответствует появление странного аттрактора (рис. 22.16). Обратим внимание на то, что и при Ь 3, 57 это отображение может иметь устойчивые периодические точки например, при Ь = 3,83 существует устойчивый трехкратный цикл [14]. [c.478] Переход к стохастичности через бесконечную цепочку бифуркаций удвоения периодического движения является довольно типичным для диссипативных систем [18, 19]. Объясняется это тем, что многие диссипативные системы, в том числе и высокого порядка (с многомерным фазовым пространством), вблизи границы перехода описываются с достаточной степенью точности гладким не взаимно однозначным одномерным отображением (рис. 22.66). Природу этого явления мы обсудим в следующем параграфе. Здесь же приведем два примера, иллюстрирующие рассматриваемый путь перехода диссипативной системы к стохастическому поведению. [c.479] Эти примеры, описывающие резонансное взаимодействие осцилляторов, представляют и самостоятельный интерес для теории нелинейных волн. [c.480] Резонансное взаимодействие волн — наиболее характерное проявление нелинейных свойств разнообразных сред. Как мы знаем (см. гл. 20), возникающие при таком взаимодействии нелинейные явления (генерация гармоник и субгармоник, самомодуляция и самофокусировка волн, различного рода параметрические процессы) обнаруживаются в диспергирующих средах даже при весьма малой нелинейности, если выполнены условия синхронизма = О, = = О, где u i — частоты, а к(сс г) — волновые векторы взаимодействующих волн. Амплитуды этих волн являются медленно изменяющимися функциями пространственных координат и времени. Нелинейное взаимодействие квазигармонических волн, как мы уже говорили, играет большую роль в физике плазмы, гидродинамике, нелинейной оптике, физике конденсированного состояния и других областях. Если число элементарных возбуждений в среде очень велико, то, как правило, устанавливается нерегулярное поведение волнового поля. [c.480] При отсутствии источников и стоков энергии спектр таких волн отвечает равнораспределению энергии по степеням свободы (распределение Рэлея-Джинса) (см. гл. 20). Для самосогласованного описания реальной волновой турбулентности необходимо учесть диссипацию и подкачку энергии из источника (внешнего поля при нагреве плазмы, ветра для волн на воде и т. д.). При таком описании задача сводится к рассмотрению динамики ансамбля взаимодействующих осцилляторов — мод, часть из которых черпает энергию от источника, а часть передает ее термостату. Рассмотрим здесь простейшие модели такого типа, не предполагая предварительно, что фазы волн хаотизированы (ср. с 20.4). [c.480] Здесь X = ( аз /7з)со8 , Y = ( аз /7з) os , Z = а1,2р/7з, ф = argfl3 — 2argai 2 — S, u = / 1,2/73, S = /73. При точном синхронизме (5 = 0) и и 1/2 все траектории в фазовом пространстве системы (22.18) при t оо стремятся к плоскости Z = О или Y = 0. Это следует из того, что функция Р = ZY удовлетворяет уравнению dP/dt = = (1 — 2р)Р, т. е. Р о при i оо. На плоскостях Z = О и Y = 0 отсутствуют устойчивые состояния равновесия или предельные циклы, и все траектории по ним уходят в бесконечность. Стабилизация неустойчивой моды за счет передачи энергии равноправным низкочастотным модам в этом случае, следовательно, невозможна. Однако стабилизация возможна при ненулевой, хотя и очень малой расстройке. Поток энергии при этом в зависимости от параметров оказывается либо постоянным во времени (в фазовом пространстве — устойчивое состояние равновесия), либо периодическим (предельный цикл), либо случайным образом пульсирует (стохастический аттрактор). [c.481] Аналогичные бифуркации удвоения периода, приводящие к стохастическому поведению, обнаруживаются и в системе, описывающей процесс четырехволнового взаимодействия 2и)о = и)1+и 2, 2ко = к1. При этом стабилизация линейной неустойчивой моды Шо осуществляется за счет передачи энергии затухающим сателлитам и и Ш2- Если Ш1—Ш2 с 1 05 то такому режиму соответствуют стохастические модулированные колебания с несущей частотой шо [21]. [c.482] Жесткий режим возникновения стохастических автоколебаний. Один из механизмов возникновения странного аттрактора при непрерывном изменении параметра проиллюстрируем на конкретном примере — системе Лоренца. Э. Лоренц обнаружил детерминированное непериодическое течение [23] в простой диссипативной системе с трехмерным фазовым пространством. Эта система, пришедшая из гидродинамики, как сейчас выяснилось, имеет многочисленные иные приложения [7], и ее динамика подробно исследована с помощью качественных и численных методов. [c.483] Такое представление означает учет трех связанных пространственных мод, из которых две ( ц и Тц) при Ra Rai нарастают за счет конвективной неустойчивости, а третья (Т02) затухает. Параметр а = 1 /2 — это характерный масштаб мод, которые раньше других теряют устойчивость при Ra Rai. Решение (22.19) описывает конвекцию в виде валов или роликов, не меняющихся по третьей координате. [c.483] Здесь Рг — число Прандля, г = Ка/Ка1 — число Рэлея, нормированное на критическое, а Ъ = 4/(1 - - а ) (см. гл. 21). В первую колонку здесь объединены слагаемые, ответственные за линейное затухание мод, во вторую колонку — слагаемые, ответственные за их параметрическое возбуждение (слагаемые, пропорциональные X и , входят с одинаковыми знаками в уравнения для X и соответственно), а в третью колонку входят слагаемые, ответственные за нелинейную перекачку энергии в затухающую моду Z. И вот такая, как казалось, простая система демонстрирует непериодическое поведение (на рис. 22.19 представлена одна из траекторий, принадлежащих аттрактору [24]). [c.484] Прежде всего обсудим простейшие особенности системы (22.20). [c.485] Проследим зависимость поведения системы от параметра г (числа Рэлея). При г 1 единственным состоянием равновесия является устойчивый узел в начале координат 0(0, О,, 0). Когда г 1, начало координат становится седлом и из него рождаются два устойчивых состояния равновесия = л/Ь г - 1), i/6(r - 1), г - 1), отвечающих стационарной конвекции в виде валов с противоположным направлением вращения жидкости. Эти нетривиальные состояния равновесия существуют при г 1, но устойчивы они только при г г = Рг(Рг - -+ + 3)/(Рг- -1). [c.485] При г = г в состояние равновесия и С попадают существовавшие в их окрестности неустойчивые циклы и передают им свою неустойчивость. При г г эти состояния равновесия превращаются в состояния типа седло-фокус одномерная сепаратриса устойчива, а на двумерной расположены раскручивающиеся спирали. Таким образом, при г г внутри упоминавшейся области в фазовом пространстве системы (22.20) все состояния равновесия неустойчивы. Ответ на вопрос, к чему в этом случае будут притягиваться траектории, требует существенно нелокального рассмотрения и может быть получен в результате численного исследования [24, 25]. [c.485] Вернуться к основной статье