Теория фракталов

Таким образом, использование понятийного и математического аппарата теории фракталов позволяет с единых позиций достаточно детально и в то же время компактно описывать совершенно различные (физико-механические, химические, гидромеханические и др.) процессы, вероятностные явления и основные закономерности поведения сложных технических систем, имеющих временную или пространственную иерархию. [c.139]

При первом прочтении разделы 2.2 - 2.3, касающиеся теории фракталов, можно пропустить и вернуться к ним позже, поскольку современная нелинейная механика разрушения рассматривает трещину как фрактальный объект, и эти сведения абсолютно необходимы [c.3]

В следующем разделе будет показана чрезвычайная распространенность и всеобщность иерархического принципа. Далее будут приведены некоторые сведения,.из теории фракталов, которые необходимы для понимания механизмов разрушения реальных материалов, поскольку нелинейная механика разрушения широко оперирует понятиями фрактальной геометрии [c.21]

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ РЕАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ [c.32]

Аморфная структура, возникающая при накоплении еще большей концентрации дислокаций, - это насыщенная дислокациями до определенного критического значения рыхлая зона. Материал этой зоны неплотно заполняет занимаемый им объем, поэтому с точки зрения теории фракталов зона может описываться как фрактальная, обладающая дробной размерностью. Ее [c.288]

Как отметил Г.Р. Иваницкий [15], в наших знаниях имеется пробел, не позволяющий понять единую картину мира. Объединение подходов неравновесной динамики и теории фракталов повысит наши познания сложного [16]. [c.8]

При анализе естественных фракталов часто используют представления о кластерах. Кластерами называют комплексные соединения, в основе молекулярной структуры которых лежит объемная ячейка из непосредственно связанных между собой атомов, которая играет роль центрального атома. С развитием теории фракталов введено понятие фрактальных кластеров, которыми принято называть структуры, образующиеся при ассоциации твердых аэрозолей в газе в случае диффузного характера их движения. Это характерно, например, для облаков, туманов, частиц, находящихся в суспензиях, коллоидных растворах и т.п. В случае фрактального кластера средняя плотность частиц в нем р(г) падает по мере удаления от образующего центра по закону [43] [c.38]

Связь параметров самоподобных фрактальных структур с золотым отношением. Как следует из обзора фрактальных структур, проведенного в гл. 2, теория фракталов базируется на рассмотрении связи между целым и его частями, определяющей размерность самоподобия множества. В [278, 279] использованы обобщенные золотые отношения для установления универсальной связи между размерностью самоподобия множества, коэффициентом подобия г и числом N. Оно характеризует число фрагментов, покрывающих исходное множество его уменьшенными копиями, с использованием масштабного множителя равного коэффициенту подобия. Отрезок прямой можно покрыть отрезками г(Л ) = 1/N, прямоугольный участок плоскости — квадратами со стороной [r(/V)]2 = 1//V, а прямоугольный параллелепипед — копиями при [г(ЛО] = VN. Для фрактальных структур связь между r,N viD, определяется соотношением (35). [c.155]

Фрактальные модели. Развитие теории фракталов (см. гл. 2) позволило количественно описывать аморфные структуры с помощью фрактальной размерности. Ниже рассмотрены представления, учитывающие многоуровневый характер формирования неравновесных аморфных структур. Как уже отмечалось, абсолютная неупорядоченность конденсированных систем, в том числе в аморфном состоянии, принципиально невозможна в [c.283]

Методы теории фракталов, как правило, применяются в самых сложных разделах теоретической физики — квантовой теории поля, статистической физике, теории фазовых переходов и критических явлений. Цель монографии — показать, что идеи н методы теории фракталов могут быть эффективно использованы в традиционном, классическом разделе механики — механике материалов. Круг рассмотренных материалов достаточно широк дисперсные материалы от металлических порошков до оксидной керамики, полимеры, композиционные материалы с различными матрицами и наполнителями, полиграфические материалы. Построена статистическая теория структуры и упруго—прочностных свойств фрактальных дисперсных систем. Разработан фрактальный подход к описанию процессов консолидации дисперсных систем. Развита самосогласованная теория эффективного модуля упругости дисперсно—армированных композитов стохастической структуры в полном диапазоне изменения объемной доли наполнителя. Теория обобщена на композиты с бимодальной упаковкой наполнителей, а также на композиционные материалы с арми — рованием по сложным комбинированным схемам. Рассматривается применение теории фракталов для исследования микроструктуры и физико— механических свойств полиграфических материалов и технологии печатных процессов. [c.2]

Развитие механики композиционных и дисперсных материалов привело к формированию нового научного направления — структурной механики. В самом названии зтого направления подчеркивается роль структуры при описании свойств материала. Однако долгое время доступными для описания оставались регулярные и близкие к ним структуры. С появлением теории перколяции и теории фракталов были созданы предпосылки для того, чтобы уравновесить оба фактора и наряду с развитием собственно методов механики материалов развивать и методы описания их структур. [c.7]

Использование теории фракталов в механике материалов потребовало переосмысления ее методов и доказательства фрактальности исследуемых объектов. Основу данной монографии составляют результаты, полученные непосредственно автором, а также при его участии. [c.8]

Общим методам исследования структуры и физико — механических свойств дисперсных и композиционных материалов посвящена первая глава. Описывается современное состояние проблемы изучения взаимосвязи структуры и физико —механических свойств дисперсных материалов и композитов. Рассмотрены теории структуры гетерогенных систем. Обсуждается современное состояние теории перколяции и теории фракталов, анализируются возможности развития этих теорий для постановки новых задач и решения проблем механики деформируемого твердого тела. [c.10]

В четвертой главе на основе теории фракталов развит общий подход, позволивший исследовать влияние процессов структурообразования на упруго — прочностные свойства дисперсно —армированных композиционных материалов. [c.11]

На основе теории перколяции и теории фракталов описаны закономерности структурообразования в композитах для каждого структурного состояния фазовой диаграммы, отражающей взаимное распределение в них матрицы и наполнителя. [c.11]

В шестой главе теория перколяции и теория фракталов используются для описания структуры порового про — странства волокнистой стохастической среды. Подход позволил учесть деформирование среды при перколяции в ней неньютоновской жидкости на основе сбалансированного учета как локальных контактных взаимодействий, так и влияния глобальной перестройки структуры системы. [c.12]

Однако с развитием теории перколяции и теории фракталов появилась возможность описывать сразу всю иерархию структурных состояний системы, что позволило перевести статистическую теорию гетерогенных систем на качественно новый уровень. [c.22]

Примеры регулярных фракталов приведены на рис. 1.1. Регулярные фракталы были первыми объектами в теории фракталов, которые подтверждали принципиальную возможность существования геометрических объектов дробной топологической размерности. [c.23]

Кластер на рис. 1.2 выглядит как типичная дендритная структура. Многие материалы имеют такую структуру. Вместе с тем примечательная особенность данного кластера состоит в том, что он построен в результате моделирования на ЭВМ с использованием методов теории фракталов. [c.25]

Общее представление о степени изученности стохастических фракталов дает следующий факт. В настоящее время количество обнаруженных фракталов первого и второго типов приближается к десяти тысячам. Количество имитационных математических моделей, позволяющих получать кластеры с заранее известными фрактальными размерностями, не достигло и десяти. Это серьезная проблема, которая сдерживает развитие теории фракталов во многих важных для практики направлениях. [c.26]

Как уже отмечалось выше, объектом описания теории фракталов являются самоподобные множества дробной топологической размерности. Наряду с наличием дробной размерности одним из наиболее значимых свойств фракталов является их самоподобие, т. е. локальная инвариантность относительно полугруппы (для регулярных фракталов дискретной полугруппы) дилатаций (сжатий) с параметром X. регулярных фракталов зто точное свойство, для [c.28]

Проблемой является описание механических свойств систем на основе теории фракталов. В некоторых случаях [c.29]

Теория перколяции по своей исходной постановке предназначена для описания поведения систем вблизи топологических фазовых переходов [50]. Она не может описывать все многообразие структур в системе. Для этих целей предназначена более общая теория — теория фракталов. Она хорошо отражает специфику структуры кластеров и является более перспективной для описания свойств сильно неоднородных материалов. [c.34]

Рассмотрим структуру дисперсных систем. Как уже отмечалось, большинство реальных дисперсных систем и материалов имеют неупорядоченную структуру, однако необходимо доказать, что они принадлежат к классу фракталов. Доказательства такого рода строятся на основе определения и анализа фрактальной размерности их структуры. Необходимо отметить, что определение фрактальной размерности структур, особенно в реальных системах и материалах, представляет собой самостоятельную и довольно непростую задачу. Ее решение является ключевой проблемой и фактически открывает вход в теорию, поскольку размерность является одним из основных параметров теории фракталов. [c.39]

Основным препятствием, сдерживающим пшрокое применение иерархических моделей сложных систем является их узко специа)Шзированная направленность (радиотехника и электроника, отдельные разделы механики разрушения, отдельные задачи теории надежности др.) вследствие изучения структурных характеристик с позиций частных технических дисциплин. Для увеличения диапазона применения модельных систем будет вполне логично воспользоваться универсаггьным междисциплинарным аппаратом, каким является теория фракталов. [c.131]

Теорил фрактальных структур для систем, далеких от равновесия, также является общей в случае как живой, так и неживой природы. В результате эволюции таких систем возможны как деградация структуры, т.с, переход в более хаотическое состояние, гак и ее самоорганизация - переход в высокоорганизованное состояние в точках неустойчивости. Поэтому объединение идей синергетики и теории фракталов целесообразно [З]. [c.231]

Глава 2 вводит читателя в предмет Природа разрушения . Даются основные понятия, а также вводится чрезвычайно важная идея единства процессов создания материша и его разруигепия. На основании этой идеи построено изложение всего учебника. Далее вводится понятие иерархичности и дается значительное количество сведений из теории фракталов. [c.3]

Поликристалл можно рассматривать как перколяционный кластер. Совокупность границ зерен можно предетавить как арочную конструкцию, состоящую из межкристаллитных химических связей (мостиков) и пустот Соединив центры тяжести отдельных зерен между собой, поликристалл можно представить как арочную конструкцию, состоящую из узлов-зерен и межкристаллитных связей между ними, или как каркас границ зерен (рис. 66). Шероховатость пустотной структуры межзеренных границ дает основание рассматривать их с точки зрения теории фракталов [69] [c.97]

Повторение одного типа упорядоченности (структурированности) на разных масштабных уровнях (фрактальность), а значит, и подобие свойств и динамики этих систем изучает новый раздел физики - теория фракталов. Развитие этой области знаний может привести к удивительным результатам - хорошо изучив поведение структуры на одном масштабном уровне, можно будет моделировать развитие системы во времени на другом уровне, например, на несколько порядков большем. [c.27]

Рассмотренное выше означает необходимость объединения подходов синергетики и теории фракталов, так как диссипативные структуры, самоорганизующиеся в открытых системах, фрактальны [9—11]. Синергетика расширила 1юнятие структуры, придав ей универсальность, а теория фракталов позволила ввести новые количественные показатели структур в виде фрактальной размерности. Это является базой для моделирования структур различной природы. Следует иметь в виду, что различные уровни структуры (микро-, мезо- и макромасштаб) можно описать в рамках мультифрактального анализа. [c.8]

Использование концепции фракталов в металлургии и материаловедении, являющейся научным фундаментом получения материалов с заданными свойствами, способствует прогрессу в этом направлении. Теория фракталов переводит на более высокий уровень понятие о структуре и, что особенно важно, дает ключ к развитию фрактального материало- [c.33]

В теории фракталов используется понятие кластера для описания объекта, состоящего из большого числа твердых частиц, жестко связанных между собой, и имеющего рыхлую и ветвистую структуру. Кластером принято называть систему, состоящую из большого числа атомов или молекул, которые внутри этой системы сохраняют свою индивидуальность [43]. Фрактальный кластер отличается от нефрактального тем, что он обладает свойством самоподобия. Понятие фрактального кластера универсально и поэтому применимо к системам различной природы. Обширная информация о свойствах фрактальных кластеров получена при изучении их поведения путем компьютерного моделирования с использованием различных моделей формирования кластеров. [c.159]

Современные средства научной информации дают возможность достаточно полно анализировать направления развития теории фракталов и ее приложений. Анализ доступных в настоящее время информационных ресурсов, в том числе через сеть 1п1егпе1, показывает, что до настоящего времени публиковались только материалы научных конференций по применению фракталов в материаловедении. Таким образом, данная монография фактически открывает серию специализированных научных изданий, посвященных применению методов теории фракталов в механике материалов. [c.8]

Седьмая глава посвящена приложениям теории фракталов в механике полиграфических материалов и технологии печатных процессов. Рассматривается применение теории фракталов для описания микроструктуры и физико-механических свойств печатной бумаги и форм, офсетного резинотканевого полотна. Развита структурная фрактальная теория козффициента вязкости типографских красок, учитывающая изменение в широком диапазоне объемной доли пигмента. Рассмотрены механизм и закономерности краскопереноса в офсетной технологии печати. Построена фрактальная теория процесса взаимодействия бумаги и краски при печатании. [c.12]

В свое время профессор Т. Л. Челидзе 48] высказал предположение, что прогресс в теории перколяции и теории фракталов приведет к формированию нового направления физики неоднородных сред — фрактальной механике. Данная монография представляет собой первый шаг к построению фрактальной механики материалов. Естественно, она содержит определенные дискуссионные положения. Вместе с тем, разделяя точку зрения Т. Л. Челидзе, автор и его ученики будут считать свою задачу выполненной, если им удастся пробудить интерес к этому важному как в научном, так и в практическом отношении направлению механики. [c.12]

Математические основы теории фракталов были заложены в самом начале XX в., однако только после опубликования Бенуа Мандельбротом в 1982 г. монографии Фрактальная геометрия природы [69] началось бурное развитие как самой теории, так и ее приложений. [c.22]

Высокая информативность фрактальной размерности при описании структуры торфяных систем послужила основанием для рассмотрения с точки зрения теории фракталов принципов построения классификации торфа. Объективные трудности построения основанной на количественных признаках классификации торфяных систем состоят в том, что процессы морфологической и химической деструкции, происходящие при торфообразовании, не совпадают, свойства одного и того же ботанического [c.40]

Теория фракталов позволяет с единых позиций решить задачу описания всей иерархии структурных уровней в сложных материалах. Так, в [72] показано, что фрактальный характер структур прослеживается, начиная с макро— и надмолекулярного уровней (конформация макромолекул целлюлозы и надмолекулярная структура лигнина), далее на ультра— и микроструктурном уровнях (внутренняя структура макрофибрилл целлюлозы и их распределение в клеточной стенке), а также на макроуровне (распределение плотности в пределах годичного слоя). Фрактальная структура характерна также для древесно —полимерных композитов на основе диспергированной древесины [73]. Более подробно эти вопросы рассматриваются в гл. 5, [c.41]

Известны фрактальные структуры, образованные ультра — дисперсными металлическими частицами и коллоидными металлами [52], Поскольку химические кластеры [74] занимают промежуточное положение между моно— и биядер — ными соединениями металлов и ультрадисперсными частицами, то теория фракталов позволяет проследить, насколько глубоко распространяется принцип самоподобия структур и в какой мере он универсален, [c.41]

Особенность структуры агрегатов фрактальных дисперсных систем такова, что в приповерхностных слоях плотность минимальна и может быть в несколько раз меньше плотность ядра агрегата. Если рассматривать наружные и вн)ггренние слои агрегата как своеобразные предельные состояния его структуры, то естественно возникает проблема переходной области. В этой связи основное требование, которому должна удовлетворять теория прочности — это возможность учета полного набора структурных состояний или плотностей, присутствующих в объекте описания. Из всех существующих статистических теорий в настоящее время только теория фракталов имеет возможность описывать переходные структурные состояния, что позволяет построить на ее основе новый метод описания прочности. [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...