Заполненное множество Жюлиа

Определим заполненное множество Жюлиа K(f) как множество всех таких г 6 С, у которых орбиты относительно / ограничены. [c.119]

Лемма. Заполненное множество Жюлиа. Для любого полиномиального отображения / степени (1 2 это множество К = = К /) С С компактно и имеет связное дополнение. Оно может быть описано как объединение множества Жюлиа J = J(f) со всеми ограниченными компонентами его дополнения С J. С другой стороны, J может быть описано как граница дК. [c.119]

Для доказательства связности. 9I рассмотрим ограниченную компоненту связности и в С J. Покажем, что /° (г) Ь нри всех г 11 и п 0. В противном случае, согласно принципу максимума модуля, нашлось бы такое г 6 дП С J, что /°"(г) > Ь. Но отсюда следовало бы, что г 6 я/, а это невозможно. Поэтому каждая ограниченная компонента связности С J содержится в заполненном множестве Жюлиа К, и единственная неограниченная компонента связности может быть отождествлена с С К = С П я/(оо). [c.120]

Для лучшего понимания природы заполненного множества Жюлиа рассмотрим дихотомию теоремы 9.3 для дополнительной области 2/(00) = С К. Отсюда вытекает следующая [c.120]

Теорема. Связность К равносильна ограниченности критических орбит. Пусть / — многочлен степени d 2. Если заполненное множество Жюлиа К = К /) содержит все конечные критические точки f, то и К и J = дК связны, а дополнение к К конформно изоморфно внешности замкнутого единичного диска В [c.120]

Задача 9-с. Клеточные множества и формула Римана—Гурвица. Изложим другой план доказательства теоремы 9.5. Пусть, как и раньше, f — многочлен степени п 2. Для каждого числа > О обозначим через Vg ограниченное открытое множество, состоящее из всех комплексных чисел г таких, что < g. Используя принцип максимума модуля, покажите, что каждая компонента связности Vg односвязна. Следовательно, эйлерова характеристика х(У ) совпадает с количеством компонент связности Vg. Покажите, что каждая компонента связности Vg пересекает заполненное множество Жюлиа. [c.127]

Компактное подмножество п-мерного евклидова пространства называется клеточным -, если является пересечением последовательности вложенных друг в друга замкнутых топологических п-мерных клеток, каждая из которых содержится во внутренности предыдущей. Покажите, что заполненное множество Жюлиа К = f Vg клеточно (и, следовательно, связно) тогда и только тогда, когда оно содержит все п — 1 конечные критические точки отображения /. (В самом деле, если хоть [c.127]

Основное Предположение. Множество Жюлиа J связно, или, что эквивалентно, заполненное множество Жюлиа К связно. [c.220]

Заполненное множество Жюлиа К локально связно. [c.224]

Мы по-прежнему будем считать, что заполненное множество Жюлиа К связно, не предполагая при этом его локальную связность. [c.229]

Пусть К С Е — замкнутое подмножество, состоящее из таких г Е, у которых компоненты принадлежат заполненному множеству Жюлиа К. [c.235]

Задача А-1. Площадь заполненного множества Жюлиа. Из [c.262]

Многие множества Жюлиа состоят из очень тонких перемычек. Для получения точных изображений таких множеств необходимо получить некоторую оценку расстояний. В частности, если мера заполненного множества Жюлиа равна нулю, то весьма вероятно, что все центральные точки наших пикселей соответствуют орбитам, уходящим на бесконечность. Но хорошая оценка расстояния может дать информацию [c.304]

Заполненное множество Жюлиа 119, 220, 262 Зигель, К. Л. 10, 151, 226 [c.318]

Каждый прообраз G ) = z G z) = с при с > О называется эквипотенциальной кривой в окрестности заполненного множества Жюлиа К. Заметим, что / отображает каждую эквипотенциальную кривую С с) на кривую С пс) посредством п-листного накрытия. Ортогональные траектории [c.221]

Замечание. А priori может случиться так, что каждый внещний луч может заканчиваться даже в том случае, когда К не является локально связным. Таким свойством обладает, например, показанное на рисунке 36 компактное множество симметричный гребень , которое не является заполненным множеством Жюлиа. Оно состоит из отрезков [-1, 1] X с" для с = 0,75 и из осей [-1, 1] х 0 и 0 х [-1, 1]. Очевидно, что в таком примере соответствующая зависимость t j t) не может быть непрерывной. [c.224]

Как было отмечено выще, достаточно рассмотреть случай Л = 1. Напомним, что множество Ер состоит из обратных орбит, сходящихся к нулю в отталкивающем лепестке Р, которому соответствует изомор-физм Фату фр Ер С, удовлетворяющий соотношению фр о f(z) = = фр ) + 1. Заметим, что если фр ) = u + iv при достаточно большом г) и и, близком к —оо, то тг(г) С должно принадлежать одному из двух соседних притягивающих лепестков и потому содержится в заполненном множестве Жюлиа К. Значит, множество фр Ер К) С С должно целиком содержаться в полосе г) < onst, имеющей конечную высоту. Вместо окружностей и колец Aq из предыдущих рассуждений рассмотрим теперь вертикальные прямые [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...