Лемма о продолжении

Заметим, что, кроме того, и Д являются сжимающими отображен ями, которые по лемме о продолжении 6.2.7 можно считать С -близким к их линейным частям ( >/, )о и (13/2)0. [c.266]

Доказательство. Сначала, используя теорему 6.2.3, введем подходящие локальные координаты с центром в р так, чтобы устойчивое и неустойчивое многообразия в точке р совпали с координатными подпространствами К и соответственно. Так как устойчивые и неустойчивые многообразия для д и для / имеют касания бесконечной кратности, можно сопрячь д, используя некоторый диффеоморфизм, имеющий касание бесконечной кратности с тождественным, для которого возникающие в результате устойчивое и неустойчивое многообразия совпадают с соответствующими многообразиями /. По лемме о продолжении 6.2.7 существует пара (7°°-диффеоморфизмов К , сохраняющих начало координат, совпадающих с координатными представлениями /ид соответственно в некоторой окрестности начала координат и с линейной частью /ад вне некоторой большей окрестности, сохраняющих R и К"" и С -близких к их общей линейной части. Мы будем по-прежнему обозначать эти отображения / ад. Тогда отображение а = f — д имеет нулевые струи всех порядков в начале координат и само обращается в нуль вне некоторой окрестности начала координат. Покажем теперь, что отображение а может быть разложено в сумму [c.289]

Для любого г 6 Л мы можем продолжить функцию Д, ограниченную на меньший шар В 0,щ х)) для некоторого г < 1, на все пространство R" с помощью леммы о продолжении 6.2.7. Таким образом, с каждым i 6 Л мы можем связать последовательность таких диффеоморфизмов R", что /, U(o,,mW) Л /х,т(0) = о и -расстояние с (Л,т. А/.) < е на всем R". [c.670]

Доказательство. Сначала допустим, что единица является собственным значением /. Мы построим два локальных диффеоморфизма / и д, произвольно близкие к /, которые обладают различными структурами орбит. Сначала, как в доказательстве предложения 7.2.9, положим / = О/. Этот диффеоморфизм в достаточно малой окрестности произвольно близок к /. Так как единица является собственным значением О/, найдется однопараметрическое семейство неподвижных точек, содержащее р. С другой стороны, произвольно близко к В/ найдется гиперболическое линейное отображение Ь. Полагая д = Н локально и используя лемму 6.2.7 о продолжении, мы получаем диффеоморфизм с изолированной неподвижной точкой. Такая же конструкция применяется в случае, когда О/ имеет в качестве своего собственного значения корень из единицы, так как мы можем рассматривать вместо самого отображения его степени. В заключение, если О/ обладает собственным значением, лежащим на единичной окружности и имеющим иррациональный аргумент, то всегда можно найти произвольно малое возмущение, переводящее это собственное значение в корень из единицы. [c.305]

Из обращения и (х) в нуль в окрестности х со, по свойству аналитичности, с помощью аналитического продолжения нахоДим и (.дг) = О, /х 0 , Теперь доказательство теоремы 2.13 получается из оценок (2.55), которые согласно основной лемме дают [c.102]

Лемма 5. а) Если полутраектория стремящаяся к состоянию равновесия О, не имеет, продолжения с положительной стороны по отношению к окружности С, но имеет продолжение с положительной стороны по отношению к окружности С меньшего, чем С, радиуса, то траектория Ь, являющаяся продолжением полутраектории по отношению к окружности С, не может иметь точек, лежащих вне окружности С [c.272]

Докажем утверждение б). Пусть Ьу — траектория, являющаяся ш-продолжением траектории о с положительной стороны. Возьмем на Ьу какую-нибудь точку Р, лежащую после последней (при убывании I) общей точки с окружностью Су. Проведем через точку Р дугу без контакта РВ, расположенную внутри окружности С с положительной стороны траектории Ьу (рис. 252). Так как на дуге QA лежит стремящаяся к точке Я и соответствующая неограниченно возрастающим значениям I последовательность точек полутраектории Ь , то (см. определение XIX) на дуге РВ также лежит стремящаяся к точке Р и соответствующая неограниченно возрастающим значениям I последовательность точек полутраектории Ь. А это значит, что точка Р является ш-предельной для полутраектории Ь . Отсюда легко вытекает утверждение б). Лемма доказана. [c.414]

В основу работы положены три леммы, первая из которых является формулировкой правила параллелограмма. Вторая лемма утверждает, что равновесие плоской системы сходящихся сил, расположенных в одной полуплоскости, невозможно. В третьей лемме говорится о том, что если силы лежат в одной плоскости, сходятся в одной точке, но не принадлежат одному полукругу, то каждая сила, продолженная за общую точку (узел), будет проходить между другими силами, то есть будет пересекать угол между какими-то силами. [c.187]

Доказательство. Из предыдущей леммы мы знаем, что Я можно снабдить структурой либо С -алгебры, либо 7 -алгебры. В дальнейшем нас будет интересовать норма, получаемая на Пусть ф — любое произвольное состояние на 91. Обозначим той же буквой продолжение этого состояния на 9 , описанное выше. Пусть далее /С е Ш Кф / . /< )= О Ясно, [c.100]

Лемма 4. Пусть / задана на и для какого-либо ее продолжения на всю ось выполняется (2.1). Тогда формула следа (2.1) верна и для самой /. [c.347]

Лемма 6.2.7 (лемма о продолжении). Пусть U — открытая огр> ничейная окрестность точки OeR" и/ U R — такой локальнь диффеоморфизм, что /(0) = 0. Тогда для любого е 0 существуюгпт кое 6>0 и такой диффеоморфизм / R" - R", что / - /о с> < и f = на 5(0, 5). [c.248]

Свойства экспоненциального отображения, в частности тот факт, что его дифференциал в начале координат является тождественным отображением, и гладкость зависимости ехр от х, гарантируют, что для достаточно малого е>0 каждое отображение С -близко к своему дифференциалу в начале координат, который просто представляет собой дифференциал Df)x> выраженный в наших координатах. Тогда, используя лемму о продолжении 6.2.7, можно продолжить отображения для некоторого е, < е на все пространство К . Обозначим продолженные отображения просто через Д. Таким образом, вдоль каждой орбиты f" x) ra z х еАмы получаем последовательность отображений Д = R" i удовлетворяющих условиям теоремы 6.2.8. В частности, еще раз уменьшая е до некоторого Eji мы можем сделать число 6, входящее в формулировку этой теоремы, произвольно малым. Переформулировка утверждения этой теоремы в терминах первоначального отображения / дает следующий результат, который обычно называется теоремой об устойчивых и неустойчивых многообразиях для гиперболических множеств. [c.272]

Наоборот, предположим, что диффеоморфизм / структурно устойчив и имеет нетрансверсальную неподвижную точку з , т. е. такую точку, что f i )) = 1- По теореме Купки — Смейла у диффеоморфизма / существуют только изолированные неподвижные точки, потому что в любой окрестности / найдется диффеоморфизм Купки — Смейла, а следовательно, диффеоморфизм Купки — Смейла, топологически сопряженный с /. Поскольку = 1, существует сколь угодно малое С -возмущение /, имеющее отрезок с концами в неподвижных точках, содержаыщй а , т. е. диффеоморфизм / не является структурно устойчивым, что приводит к противоречию. Такое отображение может быть построено с помощью метода, используемого в лемме о продолжении 6.2.7, а именно путем построения приближения, которое совпадает с линейной частью в окрестности неподвижной точки. [c.301]

Доказательство. Пусть, как и выше, ер > О таково, что в замкнутой окрестности (О) не содержится ни одной замкнутой траектории и кроме состояния равновесия О ни одной целой особой траектории. Пусть для определенности рассматриваемая сепаратриса является -сепаратрисой. Обозначим ее через Она заведомо продолжаема, по крайней мере с одной из сторон, например с положительной стороны, относительно некоторой окружности С (см. теорему 38 15). Мы всегда можем предполагать, что эта окружность С лежит целиком в (О). Пусть С — произвольная окружность с центром в точке О, лежащая внутри С. Если бы продолжение сепаратрисы по отношению к окружности С было отлично от ее продолжения по отношению к окружности С, то в силу леммы 5 15 должна была бы существовать особая траектория, не являющаяся состоянием равновесия, целиком лежащая внутри окружности С, т. е. внутри (О). Но в силу выбора (О) пто невозможно. Следовательно, продолжение сепаратрисы Ьр с полонштельной стороны по отношению ко всем окружностям с центром в О, лежащим в (О), одно и то же. Это и означает, что полутраектория Ь продолжаема относительно состояния равновесия О с положительной стороны (см. определение XX главы УН). [c.321]

Одна из полутраекторий является ю-сепаратрисой, а другая — сс-сепаратрисой состояния равновесия О. В секторе g/,, т. е. между и не лежит ни одна сепаратриса, а в рассматриваемом случае не лежит также ни одна петля (так как всякая иетля, содержащаяся внутри окрун ности С, лежит в каком-нибудь эллиптическом секторе). Поэтому рассматриваемый сектор заведомо не является эллиптическим. А тогда нетрудно убедиться на основании леммы 4 17 и следствия из леммы 5 17, что все проходящие через точки сектора gk траектории и прп возрастании и при убывании t выходят из этого сектора и сепаратрисы и являются продолжением одна другой. Такой сектор мы назвали (см. п. 2 17) гиперболическим сектором (рис. 205, в). [c.349]

Пусть О у — состояние равновесия, со-предельное для траектории Ьу. В силу предыдущей леммы траектория Ьу продолжаема с положительной стороны, и траектория Ь ., являющаяся ее со-продолжением, тоже со-ире-дельна для полутраектории Ь с положительной стороны, т. е. 2 входит в Ка . Обознач1ш через состояние равновесия, со-предельное для траектории 2 (состояния равновесия Оу и О , в частности, могут совпадать). Продолжая аналогичное рассуждение, мы получим последовательность пз траекторий, входящих в континуум К , Ьу, Ьп,. . ., в которой каждая последующая является ш-продолжением предыдущей (с положительной стороны). Каждая траектория Ьу при - -оо стремится к состоянию равновесия О (г = 1, 2, 3,. . . ). Так как число траекторий, входящих в континуум Ги, конечно, в силу предположения о конечности числа особых траекторий, то существует наименьшее натуральное число Я такое, что траектории Ьу, Ь ,. . ., Ь различны, а траектория 1/л+1 совпадает с одной из траекторий Ьу, где 1 Но тогда непременно [c.414]

Лемма 16. Если конец циклической дуги а является а-концом угловой дуги или через конец циклической дуги а проходит угловая полутраектория Ь , то а-дуга, сопряженная с дугой Ь, является простой граничной ш-дугой, и при это.и 1) один конец дуги Ъ яеляется а-концом угловой дуги /(, или соответственно концом полутраектории о и при этом является угловой точкой границы области С 2) другой конец дуги Ь яв.гяется а-концом граничной или угловой дуги 1ц, являющейся последней в последовательности чередующихся граничных и угловых дуг , 1 ,. . ., 1 , в которой первая является а-продолжением дуги /(, или соответс пвенно полутраектории Ь , а каждая дуга — продолжением дуги 1[ 1 (рис. 295 и 287). [c.478]

Предположим, что цепочка, соединяющая концы А ш В дуг 1 и 1>1, а следовательно, и цепочка, соединяющая концы А и В дуг а и Ъ, состоят более, чем из одной траектории. Пусть Ь ,. . ., Ьц и соответственно Ь, . . ., Ь и — траектории, входящие в цепочки, соединяющие концы А и В дуг 1 и 1 и соответственно концы А и Б дуг а и Ь[, выписанные в порядке м-продолжения. Траектории и Ь в этих последовательностях соответствуют друг другу по схеме и имеют своими (О- и а-предельными состояниями равновесия, соответствующие друг другу по схеме. Траектория о ( о) проходит через конец дуги 1 (а ), а траектория Ьи Ь ц) — через конец дуги ( ). При этом в силу сделанных предложений дуга (а ) лежит по по.ложительную сторону траектории 0 Ь о), а дуга 1 (Ь[) — по положительную сторону траектории Ьц Ь ц). В силу леммы 12 28, траектория ( ) проходит через конец м-сед-ловой дуги (Х +), лежащей от нее по положите.чьпую сторону, а траек- [c.492]

Предупреждение. Построение и описание многообразий W ). и W ) , отличных от (W )o и (W )q, зависит от поведения точек, орбит которых покидают окрестность начала координат. Следовательно, они за висят от выбора продолжения по лемме 6.2.7 и не могут быть определен с помощью информации о поведении точек в окрестности начальной орбип на многообразии. [c.262]

Из леммы, в частности, следует, что функция Ф равномерно непрерывна на орбите О(а ) и, следовательно, продолжается единственным образом до непрерывной функции на множестве Л, которую мы также обозначим Ф. Утверждение о единственности из нашей теоремы установлено, так как выбор Ф(а ) определяет Ф однозначно. (В качестве альтернативного доказательства заметим, что если Фо/-Ф = Фо/-Ф, тоФ-Ф — непрерывная /-инвариантная функция, следовательно, в силу топологической транзитивности она является константой.) Ясно, что продолжение обладает тем же самым гёльдеровым показателем. В заключение заметим, что р и фо/-Ф — непрерывные функции иа множестве Л, которые совпадают на плотном множестве. Следовательно, они равны и Ф является решением когомологического уравнения. [c.612]

Пусть, как и в доказательстве леммы 3.4, Об— подобласть области О, бе(0, бо) фиксировано и Р — продолжение функции и с области Об на област 2, содержащую О. Поскольку Ф (х/е) >Св=сопз1>0 при хеОб, где Св не зависит от е, то из теоремы 4 3 гл I и соотношений (3.31) имеем [c.245]

Лемма 4.3. Для любой уеЯ (О ) существует продолжение ЛуеЯ (0(в)), такое, что справедливо неравенство [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...