Теория сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши

Общая теория уравнений типа (17) — сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши — рассмотрена в работах [8, 9]. [c.82]

Остальные рассуждения настоящего пункта построены в предположении, что для сингулярного интегрального уравнения (39.1) с обобщенным ядром Коши сохраняют силу теоремы Нетера ([94], 53, 102). Отметим, что если точки оси симметрии не принадлежат участкам границы, где заданы внешние силы, то справедливость указанного утверждения очевидна, так как тогда в уравнении (39.4), эквивалентном (39.1), ядро Кц, имеет лишь слабую особенность и к этому уравнению полностью применима теория сингулярных уравнений с обыкновенным ядром Коши. [c.380]

Если особенность ядра интегрального уравнения совпадает с размерностью области интегрирования, то интегральные уравнения называются сингулярными. Вопросы, связанные с теоретическим обоснованием разрешимости таких уравнений, рассмотрены в работах [113, 145, 246, 266, 306, 356]. При численном решении таких уравнений возникают трудности, связанные с тем, что сингулярные интегралы следует рассматривать в смысле главного значения по Коши. Эти трудности успешно преодолены и разработаны эффективные квадратурные формулы вычисления сингулярных интегралов. Различные методы решения сингулярных интегральных уравнений рассмотрены в работах [28, 63, 147, 218,219, 234, 468 и др.]. Сингулярные интегральные уравнения находят широкое применение при решении статических и динамических задач теории упругости [44, 203—206, 266, 289, 299, 373 и др.], а также механики разрушения [168, 171, 288, 329, 330 и др.]. [c.104]

Создание теории сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши, принявшей к настоящему времени в некотором смысле завершенный вид, в основном в работах тбилисской школы, активно способствовало развитию метода потенциалов и интегральных уравнений в теории плоских задач математической физики. По этим вопросам читатель может найти исчерпывающие сведения в монографиях Бицадзе [1, 2], Векуа И. [1 ], Векуа Н. [1], Гахов [1], Купрадзе [7, 9, 13], Лурье [1, 2], Михлин [1], Мусхелишвили [1, 31, Хведелидзе [1]. [c.84]

Полученные в первой главе сингулярные интегральные уравнения основных граничных задач плоской теории упругости справедливы как для гладких, так и для ломаных и ветвящихся разрезов и кусочно-гладких граничных контуров. Однако в случае упругих областей с угловыми точками свойства интегральных уравнений усложняются, что требует их дополнительного исследования. Если для областей, ограниченных гладкими контурами, с гладкими криволинейными разрезами сингулярные части ядер интегральных уравнений содержат только ядро Коши, то в них также имеются слагаемые с неподвижными особенностями. При этом искомые решения имеют в угловой точке две различные осо-бенности степенного типа, соответствующие симметричному и антисимметричному распределению напряжений относительно бис- сектрисы клиновидной области. Это обстоятельство очень усложняет численное решение интегральных уравнений. Поэтому в численном анализе часто используют приближенные подходы, не учитывающие особенности в угловых точках или же учитывающие только одну особенность высшего порядка (см., например, работы 95, 146, 156]). Обзор исследований по решению задач теории упругости для областей с угловыми точками имеется в работах [47, 75]. [c.60]

Входящие в эти уравнения интегралы необходимо понимать в смысле главных значений Коши. Это сингулярные интегральные уравнения. Существенное значение имеет вопрос, является ли справедливой для обсуждаемых уравнений теория Фредгольма, ибо классическая теория интегральных уравнений применяется к уравнениям с квазисингулярными ядрами (ядрами со слабой особенностью, т. е. такими, которые на основном интервале имеют особенности, интегрируемые в обычном смысле). [c.617]

Однако нет необходимости делать это. Теория систем одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши общего вида была разработана достаточно подробно еще в сороковых годах и изложена в [246] и в [13а]. Было показано, что, в отличие от систем уравнений Фредгольма, для систем сингулярных уравнений, вообще говоря, не имеет места теорема о равенстве нулю разности чисел линейно-независимых решений данной и сопряженной систем доказывается, что эта разность равна так называемому индексу системы, введенному в простейшем случае одного уравнения Неттером и распространенному для систем уравнений Мусхелишвили [246]. Таким образом, только в том частном случае, когда индекс системы сингулярных уравнений равен нулю, мы имеем случай Фредгольма и теорию разрешимости, аналогичную теории Фредгольма. Ниже будет показано, что уравнения (D ), (DJ, (Г,), (7 J относятся именно к этому типу и для них, в частности, остаются справедливыми основные теоремы и альтернатива Фредгольма кроме того, уравнения (D ), и (DJ, (7 г) являются попарно взаимно-сопряженными. Основываясь на этих свойствах полученных уравнений, в следующем параграфе мы докажем теоремы существования для первой и второй задач. [c.266]

В работе М. А. Сумбатяна [33] к основному двумерному интегральному уравнению контактной задачи о вдавливании без трения жесткого штампа в упругое полупространство применяется специальная аппроксимация ядра, в результате чего для широкого класса областей контакта его удается свести к виду, содержащему только одномерные сингулярные интегралы типа Коши. Идея метода заимствована из теории крыла конечного размаха. В случае прямоугольной области контакта получающееся уравнение распадается на два одномерных интегродифференциальных уравнения. В качестве примеров рассматриваются случаи квадратного в плане штампа и прямоугольного штампа с отношением сторон 1/2. Числовые результаты сравниваются с результатами работ, в которых применялись численные методы решения рассматриваемой задачи. [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...