Цепочка Тоды полная

В 9 гл. II были введены числа Ковалевской это — количество различных полных семейств мероморфных решений аналитических систем дифференциальных уравнений. Ниже числа Ковалевской будут найдены для одного класса гамильтоновых систем, обобщающих цепочки Тоды. Будет показано, что системы с максимально возможным числом Ковалевской вполне интегрируемы. Этот любопытный результат аналогичен классическому результату Ковалевской в динамике тяжелого твердого тела. [c.346]

Полная интегрируемость обобщенных цепочек Тоды в случае, когда а,,. .., а 1 принадлежат пополненным системам простых корней, установлена в работе [180]. В [176] этот результат обобщен на системы векторов, удовлетворяющих условиям а) и б) п. 2. Классификация таких систем представляет родственную, но более сложную задачу [c.350]

Условия существования к дополнительных хороших полиномиальных интегралов степени т 2 интересно сравнить с условиями существования к полных семейств мероморфных решений. Такое сравнение проще всего осуществить для обобщенных цепочек Тоды, у которых N= п + 1. С этой целью рассмотрим (п+ 1) X (п+ 1)-матрицу L с элементами L j = 2(oj-, ау)/(а , а ) (г ф j), Ьц = 0. Если имеется к дополнительных к интегралу энергии независимых квазиоднородных интегралов степени m 2, то, согласно результатам 9 гл. II, в каждой строке матрицы L найдется по меньшей мере к целых неположительных чисел. Если же число Ковалевской такой системы не меньше f , то по теореме 1 в матрице L имеется по крайней мере к строк, все элементы которых являются целыми положительными числами. Эти условия совпадают лишь при f = п + 1. [c.357]

Эти два свойства позволяют классифицировать обобщенные цепочки Тоды с к = 71+1. Цепочку назовем полной, если к гамильтониану (4.1) нельзя добавить экспоненциальное слагаемое мехр(Ь,а ), и О, 6 а (1 < У < М), не нарушая условий ( )-(Ш) из п. 1, а также условий 1), 2) теоремы 1. Ясно, что любая обобщенная цепочка, для которой к = 7г + 1, получается из некоторой полной цепочки, если отбросить часть векторов вида а.,/2, 1 <. 5 < г + 1. [c.347]

Теорема 2 [104]. Рассмотрим полную цепочку Тоды с числом Ковалевской к = г + 1. При г 2 схема Дынкина системы векторов аь. .., адг К" изоморфна одной из схем, изображенных на рис. 37. [c.350]

Поиску случаев интегрируемости гамильтоновых систем (4.2) посвящено значительное число работ. М. Эно [204], Г. Флаш-ка [194], С. В. Манаков [121] установили полную интегрируемость цепочки Тоды уравнения Гамильтона с гамильтонианом (4.4) [c.386]

Во введении (п. 12) уже обсуждались условия регуляризуемости фазового потока биллиардных систем в аффинных камерах Вейля корневых систем. Эти динамические системы оказываются интегрируемыми. Последнее обстоятельство тесно связано с полной интегрируемостью серии гладких гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием — так называемых обобщенных цепочек Тоды. Рассмотрим эти вопросы более подробно. [c.113]

Данная ситуация подобна ситуации в калибровочных теориях в четырехмерном евклидовом пространстве R , где двумерные уравнения, описывающие цилиндрически-симметричные автодуальные конфигурации полей Янга — Миллса, полностью интегрируются, тогда как без наложения этих симметрийных соображений удается построить лишь инстантонные (параметрические) решения в подстановке Атья — Дринфельда — Мани-на — Хитчина. Эти решения (равно как и солитонные образования для периодической цепочки Тода, для эволюционных уравнений типа Кортевега — де Фриза и для других систем) не обеспечивают полного решения соответствующей задачи в смысле зависимости от необходимого числа произвольных функций, заданных на характеристиках. Они отвечают только подклассу общих решений, выделяемому определенными граничными условиями и зависящему от соответствующего набора числовых параметров. [c.8]

IV. 2. Двумеризованная система уравнений Вольтерра (разностных КдФ) как преобразование Беклунда цепочки Тода и их полное интегрирование ) [c.164]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...