Формула Ньютона — Эйлера

Математику легко убедить себя в том, что теоретическая гидродинамика в основном непогрешима. Так, Лагранж ) писал в 1788 г. Мы обязаны Эйлеру первыми общими формулами для движения жидкостей... записанными в простой и ясной символике частных производных... Благодаря этому открытию вся механика жидкостей свелась к вопросу анализа, и будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил... Многие из величайших математиков, от Ньютона и Эйлера до наших дней, штурмовали задачи теоретической гидродинамики, веря в это. И в их исследованиях, часто вдохновляемых физической интуицией, были введены некоторые из наиболее важных понятий теории уравнений в частных производных функция Грина, вихревая линия, характеристика, область влияния, ударная волна, собственные функции, устойчивость, корректность задачи —таков неполный список. [c.16]

Замечание 3. Формула, аналогичная формуле Ламберта, была найдена для случая параболической орбиты Ньютоном (1687 г.) и, независимо от него, Эйлером (1743 г.). Согласно формуле Ньютона — Эйлера время перелета [c.128]

Знак плюс берется, если так называемая угловая дальность между точками и Р (то есть разность 02 — 01 между их истинными аномалиями) больше 180°, минус — если эта величина меньше 180°. Формула Ньютона — Эйлера может быть получена из формулы Ламберта путем предельного перехода, когда а- оо, [c.129]

Выведите формулу Ньютона — Эйлера (24), используя формулы параболического движения. [c.130]

В случае с [2] ситуация оказалась еще сложнее, так как авторы этого исследования - А. Л. Гонор и Г. Г. Черный первыми предприняли попытку решить ЗН с использованием для давления на поверхности осесимметричной головной части не формулы Ньютона, а более сложной И, как тогда представлялось, более точной формулы Ньютона-Буземана. В связи со свойствами найденных в [2] с использованием этой формулы экстремалей - оптимальных образующих, удовлетворяющих уравнению Эйлера - классическому условию экстремума, ВОЗНИКЛО два вопроса. Во-первых, как и при использовании формулы Ньютона, экстремали, как правило, не могли начинаться на оси симметрии, т.е. были пригодны лишь для тел с протоком. Исключение - не представляющие особого интереса экстремали, совпадающие с осью симметрии и прямолинейные отрезки, перпендикулярные ей. Во-вторых, замена нулем отличного от нуля угла наклона экстремали в ее концевой точке уменьшала сопротивление на конечную величину. Возможность такого уменьшения, как выяснилось вскоре, связана с тем, что согласно формуле Ньютона-Буземана при обтекании выпуклых ИЗЛОМОВ давление р в точке излома обращается в минус бесконечность, создавая уменьшающий сопротивление тянущий эффект . Так как в газе р > О, то такой эффект есть следствие несовершенства указанной формулы, что необходимо учитывать при формулировке вариационной задачи. Как показал А. Л. Гонор ([3] и Глава 4.1), учет данного обстоятельства приводит к тому, что концевая часть оптимального контура оказывается участком краевого экстремума - [c.358]

Решение первого вопроса - о невозможности проведения нужной экстремали с оси симметрии также связано с необходимостью введения участка краевого экстремума ([4] и Глава 4.2). Именно таким участком является упоминавшийся выше торец, присутствовавший уже в решении Ньютона. У Ньютона торец - участок краевого экстремума, появляющийся из-за ограничения на длину тела. По этой причине на торце допустимы только положительные вариации продольной координаты 5х > 0. Как заметил Лежандр, при допущении на торце таких 5х сопротивление оптимальной головной части все равно уменьшается, хотя и не в первом, а во втором порядке. Дело в том, что торец удовлетворяя, как указывалось выше, уравнению Эйлера, не удовлетворяет условию Лежандра (согласно условию Лежандра на экстремалях, реализующих минимум сопротивления, должно выполняться неравенство (1х/(1у > 1/ /3). Несмотря на это, решение Ньютона с передним торцом остается верным, поскольку торец является участком краевого экстремума не только из-за ограничения на длину головной части, но и как граница применимости формулы Ньютона. Для головных частей последняя справедлива, если 0<1 <тг/2, и торец оказывается участком краевого экстремума одновременно по ж и по 1 . Аналогичное положение сохраняется и при решении ЗН в рамках [c.359]

Обтекание ветром краев паруса, в осо-у . бенности при малых углах встречи, часто вызывает вихри, влиянием которых пренебрегать нельзя. Современные теории П., не отрицая значения главных аргументов, влияющих на силу действия ветра", установленных Ньютоном, вносят существенные коррективы в коэф-ты конечных формул, вывод к-рых базируется на ур-ии движения жидкости Эйлера и ур-ии давлений Бернулли. Однако результаты приложения этих ур-ий к совершенной и несжимаемой жидкости, дающие близкие к действительности результаты для перпендикулярной к плоскости паруса слагающей движущей силы, дают совершенно неверную величину для направленной по парусу слагающей силы сопротивления ветру. Последняя = О, т. к. в выводах не учи--2 2 6 10 и fs 22 тываются СИЛЫ тре- [c.450]

Апериодические члены содержатся только в членах к = 2п. Действительно, обозначая и1 + (р = х, имеем в соответствии с формулой Эйлера и формулой бинома Ньютона [c.193]

После довольно длительного периода использования эмпирических методов изготовления первых нашедших применение оптических приборов луп, очковых стекол, зрительных труб и микроскопов — начались попытки перехода к более обоснованным методам, опирающимся иа знание законов преломления и отражения. Неудивительно, что Декарт, сформулировавший впервые точные законы преломления и отражения, стал первым оптиком-конструктором, указавшим на наличие сферической аберрации линз и показавшим, как ее исправлять. Ньютон, открывший дисперсию и хроматическую аберрацию линз, дал и формулы для оценки последней, которые значительно позже позволили Дол-лонду создать первые ахроматы. Эйлер написал большой трактат [c.334]

Формулы (44) и (47) решают ноставленпую задачу в предположении, что известно решение (42) дифференциального уравнения (40) это уравнение приводится к квадратурам лишь при некоторых частных предположениях о виде функции f(v), например, в следующих случаях f(v) = av, f(v) = bv , f(v) = = ао + (Ньютон, Эйлер), f(o) = u" (И. Бернулли), f(o) = = а + йо" (Даламбер) и др. Во внешней баллистике уравнение (40) обычно интегрируют численными методами. [c.48]

Основы теории движения идеальной жидкости в трубах и при истечении из сосудов были заложены в конце 20-х гг. XVIII века Д. Бернулли и Л. Эйлером. В своих исследованиях они исходили из закона сохранения живых сил (vis viva). Этот закон встречается у X. Гюйгенса, И. Ньютона, Г.-В. Лейбница, Д. Бернулли в разных формулировках. Начала учения о силе давления и реакции выте-каюш ей струи жидкости относятся ко второй половине XVII века и связаны с именами И. Ньютона и Э. Мариотта. Мариотт полагал, что давление струи при истечении из отверстия равно весу столба жидкости, имеюш его плош адь поперечного сечения струи (отверстия) и высоту, соответствуюш ую напору жидкости в сосуде над отверстием. Записывая это соотношение в виде формулы, получим для силы давления струи следуюш ее выражение [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...