Теорема о возможных изгибаниях

S 21] ТЕОРЕМА О ВОЗМОЖНЫХ ИЗГИБАНИЯХ 219 [c.219]

Теорема о возможных изгибаниях [c.219]

Теорема о возможных изгибаниях. Полная безмоментная краевая задача, отвечающая дополнительным предположениям ( 15.15), имеет решение, удовлетворяющее тангенциальным условиям непрерывности, тогда и только тогда, когда соответствующие ей заданные внешние силы не совершают работы на перемещениях U всех возможных изгибаний срединной поверхности, и это решение единственно с точностью до U [611. [c.219]

Тангенциальные геометрические граничные условия рассмотренной полной краевой задачи, как было показано в 15.20, допускают изгибание срединной поверхности (тривиальное изгибание, сводящееся к продольному жесткому смещению), и полученные результаты полностью соответствуют теореме о возможных изгибаниях. Условие разрешимости (15.22.6) сводится к требованию обращения в нуль работы внешних сил на жестких продольных смещениях, а решение определяется с точностью до этих смещений. [c.225]

Если невозможно выполнить этап 1, т. е. если не существует решения безмоментной статической задачи, то, очевидно, не существует и решения полной краевой задачи безмоментной теории. Это произойдет тогда, когда тангенциальное геометрическое граничное условие допускает изгибания срединной поверхности, а работа внешних сил на перемещениях таких изгибаний отлична от нуля, т. е. когда нарушатся условия теоремы о возможных изгибаниях. [c.258]

Таким образом, результаты этого параграфа позволяют утверждать, что для куполообразной оболочки, на краю которой ставятся одно статическое и одно геометрическое тангенциальные граничные условия, справедлива теорема о возможных изгибаниях ( 15.21). [c.259]

В теории изгибаний показано, что незамкнутая поверхность со свободными краями не является жесткой. Поэтому согласно теореме о возможных изгибаниях соответствующая полная краевая задача безмоментной теории не должна, вообще говоря, иметь решения. Это подтвердилось на примере замкнутой оболочки нулевой кривизны, рассмотренной в 15.24. При этом выяснилось, что в данном случае теорема о возможных изгибаниях полностью выполняется. [c.262]

Полученные результаты полностью согласованы с теоремой о возможных изгибаниях, и мы получаем пример применимости этой теоремы к оболочкам отрицательной кривизны. [c.266]

Вернемся к оболочкам положительной кривизны. Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Этот факт известен. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях ( 15.21) решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе (один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй — заделан в обоих тангенциальных направлениях), должно существовать и быть единственным. Однако это утверждение может оказаться и неверным, и чтобы разобраться в получающемся несоответствии, вернемся еще раз к задаче построения аналитической функции по условию (18.38.4). [c.269]

Таким образом, обобщая полученные результаты, можно утверждать, что для оболочки с двумя краями, из которых в тангенциальных направлениях один закреплен, а другой свободен, полная краевая задача также подчиняется теореме о возможных изгибаниях, ие только при этом постановка задачи должна быть смягчена указанным образом. [c.270]

Физически ясно, что, если мы хотим, чтобы напряженное состояние оболочки было безмоментным, то надо так закрепить края, чтобы исключить бесконечно малые изгийания ее срединной поверхности. Высказанное утверждение иногда пйзиъашт гипотезой В. В. Новодворского. В части IV предпринята попытка положить эту гипотезу в основу формулировки условий существования краевых задач безмоментной теории. Они сформулированы в виде гипотетической теоремы о возможных изгибаниях, которая вкратце заключается в том, что, если при данном способе защемления краев изгибания срединной поверхности возможны, то решение краевой задачи безмоментной теории будет существовать только тогда, когда внешние силовые воздействия не совершают работы на перемещениях этих изгибаний. Выяснилось, что теорема о возможных изгибаниях должна быть обусловлена целым рядом дополнительных предположений, полного списка которых получить не удалось. Тем не менее в части III постоянно проводятся сопоставления получаемых там теорем существования с теоремой о возможных изгибаниях. Это позволяет обнаружить те обстоятельства, которые исключают возможность построения решения краевых задач безмоментной теории, а следовательно, как уже говорилось, являются причиной некоторого искажения свойств напряженно-деформированного состояния оболочки. [c.174]

В практических применениях, как правило, приходится иметь дело с оболочками, в которых тангенциальные геометрические условия обеспечивают жесткость срединной поверхности, т. е. исключают ее изгибания (в противном случае оболочка станет невыгодной в прочностном отношении этот физически понятный факт подтвердится в части IV). Тогда возможные изгибания иадо Считать равными нулю, а это значит, что любая внешняя нагрузка будет удовлетворять условию нулевой работы и теорема о возможных изгибаниях превратится в теорему существования и единственности решения полной безмоментной краевой задачи при любой, достаточно гладкой, нагрузке. [c.220]

Края оболочки должны быть неасимптотическими. Это следует из рассмотрения консольной оболочки нулевой кривизны. В такой оболочке тангенциальные граничные условия обеспечивают жесткость срединной поверхности ( 15.20), и по теореме о возможных изгибаниях решение полной безмоментной краевой задачи должно было бы существовать при любой, достаточно гладкой, нагрузке. Однако в 15.17 показано, что это решение можно построить только тогда, когда оболочка не имеет продольных краев, которые в данном случае проходят вдоль асимптотических линий. Более того, результаты 15.19 показывают, что нельзя допускать даже касания края оболочки с асимптотической линией срединной поверхности. [c.220]

Если поверхность (любого знака кривизны) не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида (17.34.1) на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение (единственное) при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в 15.23 — для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. Оно, по-видимому, останется правильным и в самом общем случае. [c.261]

В этом случае некоторые теоремы существования решений полной краевой задачи безмоментной теории формулируется точно так же, как и для оболочки с одним краем. Примером могут служить оболочки, края которых жестко заделаны в обоих тангенциальных направлениях. Как уже говорилось в 17.34, решение полной задачи в этом случае существует и единственно при любой, достаточно гладкой нагрузке, независимо от числа краев (если только они неасимптотические) и даже независимо от знака кривизны срединной поверхности. По-видимому, сохраняется при любом числе краев также и теорема существования, обсужденная в 18.36 надо только требовать, чтобы все края оболочки были неасимптотическими и свободными в обоих нетангенциальных направлениях. Для оболочек положительной кривизны это следует из результатов работ [16—19], в которых теорема доказана при любом числе краев. В 15.24 показано, что теорема остается в силе для оболочек нулевой кривизны и не видно оснований предполагать, что исключение представят оболочки отрицательной кривизны. Более сложным является случай, когда гауссова кривизна оболочки меняет знак, так как при этом может иметь место касание с плоскостью вдоль замкнутой линии, что является нарушением условий теоремы о возможных изгибаниях ( 15.21). Вместе с тем не исключено, что теорема снова станет справедливой при отсутствии такого касания. [c.263]

Напомним, ЧТО равенствами (20.16.2) задаются показатели интенсивности для куполообразной оболочки, на краю которой тангенциальные закреплег ния отсутствуют. Приводятся четыре варианта, соответствующие четырем типам нетангенциальных граничных условий (20.12.2). Число ц в (20.16.2) выбирается в зависимости от того, с какой точностью внешние силы удовлетворяют условиям теоремы о возможных изгибаниях, и если эти условия не выполняются в главных членах, то надо положить = 0. [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...