Сходимость процесса Зейделя

Для исследования сходимости процесса Зейделя перенумеруем все внутренние узлы следующим образом. За первый примем узел, соседний с каким-либо граничным узлом, за второй — соседний с первым узлом и т. д. [c.85]

Таким образом, доказана сходимость как процесса простой итерации, так и процесса Зейделя. Отметим, что в процессе доказательства сходимости шаг сетки не вошел в оценку. Из этого можно сделать вывод о том, что доказательство верно в одинаковой степени для всех h, т. е. разностная схема корректна, и, следовательно, нет необходимости проверять устойчивость по граничным условиям [18]. [c.86]

Известны приемы, позволяющие любую систему линейных уравнений привести к виду, обеспечивающему сходимость процесса итерации по Зейделю. Поскольку эти приемы требуют выполнения линейных преобразований матриц к нормальному виду, их целесообразно применять в случае выполнения расчетов на ЦВМ. [c.261]

Итерационный метод Гаусса—Зейделя легко программируется. Матрица жесткости хранится в компактной форме без нулевых членов вместе с матрицей-указателем номеров столбцов, в которых находятся ее элементы. Каждое уравнение итерируется в соответствии с (20.9), и найденное значение уточняется в соответствии с (20.10). Процесс повторяется столько раз, сколько необходимо для получения приемлемого решения, причем сходимость обычно оценивается путем вычисления разности между двумя последовательными приближениями. [c.482]

Для решения системы уравнений (3.1) наряду с прямыми методами часто используют итерационные. Затраты машинного времени на одну итерацию оказываются минимальными в методах простой итерации и Гаусса— Зейделя. Однако при некоторых типах излучателей и малых расстояниях между ними итерационный процесс имеет плохую сходимость или даже расходится [9]. Поэтому в этих случаях следует использовать более сложные итерационные методы, например метод проекций [c.89]

Для решения системы нелинейных уравнений высокого порядка (п = 120- 140), благодаря отмеченной выше естественной делимости ее на цепочки узловых подсистем уравнений, наиболее эффективным оказался итерационный метод Зейделя, обеспечиваюший для систем такого вида быструю сходимость, компактность и простоту алгоритма. На рис. 2.10 показаны относительные отклонения значений нескольких параметров У в зависимости от точности исходного приближения и от числа итераций в процессе расчета системы уравнений (2.2). Из рисунка видно, что при весьма неточном задании первоначальных приближений достаточно высокая точность расчета (0,1-4-0,01%) обеспечивается уже на 2—3-й итерации. В связи с этим отпадает необходимость в строгом согласовании задания первоначальных приближений значений параметров. Зависимость числа итераций от требуемой точности оказалась близкой к логарифмической с основанием 10. Время одной итерации составляет 8—15 сек в зависимости от вида тепловой схемы. Причем большая часть времени расходуется на расчет термодинамических свойств рабочих веществ. [c.35]

Эта группа включает метод Зейделя (р = 1), метод верхней релаксации (p = onst>l), метод нижней релаксации (p = onst< 1). Для систем линейных алгебраических уравнений с положительно определенными и симметричными матрицами доказана сходимость треугольного итерационного процесса при 0<р<2 [101]. Следовательно, итерационный процесс (4.3) для дискретных уравнений [c.237]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

Пусть решение ищется на сетке 19x11, которой соответствуют шаги /г, = 1/18, /г2==1/5, при величине итерационной погрешности е= 0,001. Параметры релаксации выберем для метода Зейделя дт = д = д<а = В качестве начального приближения возьмем (6.5). Вывод контрольной информаций организуем через каждые NN = 30 итераций. Напомним, что первая выдача производится при N11=10, а последняя — после окончания итерационного процесса, т. е. при выполнении условия сходимости итераций или же при достижении счетчиком NIT предель- [c.158]

Возможно использование других итерационных сглаживающих процедур таких, как метод Гаусса — Зейделя, последовательной верхней релаксации, сопряженных градиентов и др. В сравнении с простой итерацией и тривиальным выбором параметров т = Ijd они дают, естественно, более высокую скорость сходимости, что можно аналитически вьтести из локального анализа Фурье [100]. Но при оптимальном вь1боре параметров Т по формулам (2.26) и (3.38) алгоритмы А и не уступают по эффективности алгоритмам с перечисленными выше итерационными процессами, посколь- [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...