Лобачевского волновые

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Через много лет я по-настоящему оценил, как мне повезло, что юность я провел в такой творческой среде. Ведь молодые годы — самые плодотворные в жизни ученого. Нередко именно они оказывают решающее влияние на весь дальнейший жизненный путь. Давайте обратимся к истории науки. Все основные мысли о природе тяготения, основные идеи Оптики и исчисления бесконечно малых сложились у Ньютона в возрасте 25 лет, а остальные годы жизни ушли на развитие и обоснование этих заключений. Лобачевский, ставший студентом Казанского университета в 14 лет, уже через 9 лет после этого решил проблему об аксиоме параллельных прямых. Наш современник,, французский физик-теоретик де Бройль развил boih идеи о корпускулярно-волновой природе материи фактически в дипломной работе. [c.110]

В трудах Г/аусса, Лобачевского, Боляйи и Римана показано, что свойства поверхности определяются не положением ее в пространстве, а геометрией на ней (рис. 3). Поэтому каждая точка поверхности, определяемая декартовыми координатами х, у, г), должна зависеть от криволинейных координат, проведенных на поверхности. Гаусс обозначает эти криволинейные координаты буквами и и V. Тогда координаты центра сферы на волновой поверхности можно представить так [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...