Лучевое разложение в окрестности каустики

I. Лучевое разложение в окрестности каустики [c.19]

Вблизи каустики и на каустике поле не может быть описано с помощью геометрооптических лучей. На каустике — потому, что сечение лучевой трубки обращается в нуль, коэффициент расходимости (21.22) равен нулю, и все амплитудные коэффициенты в лучевом разложении неограниченно растут. В окрестности каустики лучевое разложение неприменимо" потому, что лучи становятся неразличимыми, так как разность эйконалов двух пересекающихся лучей, один из которых коснулся каустики, а другой еще нет, меньше Х/2. [c.234]

Для волнового поля в окрестности каустики, не имеюш,ей особых точек, удается получить асимптотическое разложение, содержаш,ее функции Эйри. Вне некоторой полоски, окружающей каустику, это разложение переходит в разложение лучевого метода. Толщина полоски уменьшается при возрастании частоты. [c.11]

Рассмотрим вкратце, где применимы лучевые разложения и в каких областях они отказывают. Очевидно, прежде всего, что лучевые разложения не могут описывать поля в тех областях пространства, где вообще отсутствуют лучи, т, е. в областях за каустиками — огибающими лучей. С точки зрения ГО в этих затененных областях поле равно нулю. Лучевые разложения теряют смысл и при приближении к каустике с выпуклой, освещенной стороны. Формально это связано с тем, что на каустике обращается в нуль ширина лучевой трубки, т. е. якобиан / в ф-ле (2.14) это соответствует тому, что в нуль обращается одни из сомножителей 5—51 или 5—5а знаменателя. Эти неприятности вызваны тем, что на каустиках не выполняется исходное предположение лучевого метода поле локально близко к плоской волне, т. е малы производные амплитуды. Хотя поле в окрестности каустики будет рассмотрено в гл. 3, оценить границы применимости лучевых методов можно внутренним способом , т. е, используя сами лучевые разложения (см, 2.4). [c.37]

В заключение еще раз подчеркнем, что хотя поле в окрестности каустики записывается с помощью специального каустического разложения, все величины, определяющие это разложение, связаны с геометрооптической структурой, т. е. для отыскания коэффициентов правильного , каустического разложения используются лучевые разложения, не применимые непосредственно в окрестности каустики. [c.72]

Вблизи начала координат и- КМ) и эйконал х М) теряют регулярность, и частные суммы лучевого разложения (как и в случае окрестности каустики, см. гл.2) перестают давать малую [c.104]

Лучевые разложения, как п ГО, неприменимы п окрестностях огибающих лучей — каустик. В гл, 3 будут рассмотрены более сложные разложения лучевых полей, каустические и фокальные, применимые иа каустиках и переходящие вдали от них в обычные лучевые разложения, [c.31]

Можно сказать, что этот луч касается каустики в бесконечно удаленной точке. Такая формулировка позволяет дать новую интерпретацию уже известного факта на луче, проходящем через точку перегиба, коэффициенты лучевого разложения растут по мере удаления от исходного фронта, а в окрестности бесконечно удаленной точки лучевые разложения неприменимы (см. [c.65]

В самом деле, удаляясь по такому лучу, мы попадаем в окрестность бесконечно удаленной каустики, откуда и следует неприменимость лучевых разложений. [c.65]

Выпишем выражения для величин О, р, g, р ъ ф-ле (3.7) в окрестности асимптоты каустики. Пусть имеется поле u k, г), заданное лучевым разложением [c.73]

Условия применимости полученного выше равномерного асимптотического разложения поля в окрестности каустики состоят, во-первых, в требованиях плавности и малости изменения свойств среды на расстояниях порядка длины звуковой волны, что необходимо и для применимости лучевой акустики вдали от каустики, и, во-вторых, в отсутствии других особенностей лучевой структуры в окрестности каустики, где kV t I. Так, формула (17.19) не работает в типичном для дальнего волноводного распространения звука случае сближения каустики (см. [52, 45]). Условия применимости асимптотики (17.19) рассматривались также в работе [107]. Придать им количественную форму позволяет метод эталонных интегралов. Именно, критические точки подьштегрального выражения в (17.1 ) должны быть изолированы от и а второй член асимптотического разложенияр должен быть мал по сравнению с приведенным в (17.14) и (17.19) главным членом. Соответствуюшие неравенства нетрудно выписать, используя материал 11. Так, малость второго приближения означает вьшолнение неравенств (см. (17.11 )-(17.13)) f j Ф1( 1,2)1 1Ф( 1,2)1- [c.369]

Геометрическая оптика, а также ее уточнение — лучевые разложения неприменимы в окрестности каустик. Погрешность приближения ГО и лучевых разложений возрастает, когда точка наблюдения стремится к каустике, а на самой каустике эти приближения обращаются в бесконечность. Поэтому лучевые разложения называются неравномерными асимптотическими разложениями. В этой главе разберем другой тип асимптотик для поля (так называемое каустическое разложение), применимый для точек наблюдения, расположенных в окрестности каустик. Погрешность этих асимптотических приближений остается ограниченной (и стремящейся к нулю при й->-оо) независимо от того, насколько близко подходим к каустике. Псгатому каустические разложения называются равномерными разложениями лучевых полей. [c.63]

Преимущество каустических разложений обусловлено тем, что они имеют более сложную форму и содержат не только экспоненту, но и специальную функцию — функцию Эйри. Вдали от каустик, когда аргумент этой функции велик, ее можно заменить асимптотическим разложением. Если это сделать, то каустические разложения переходят в ранее рассмотренные лучевые разложения. Это соответствие между разложениями обоих типов позволяет выразить аргументы новых равномерных асимптотических разложений и входящие в них медленно меняющиеся функции через геометрооптические величины эйконалы и амплитуды лучевых полей. Тем самым равномерные асимптотические разложения, применимые около каустик, определяются по известным неравномерным разложениям (лучевым разложениям) тех же полей, ко-горые сами по себе в окрестности каустик неприменимы. [c.63]

В выражения для коэффициентов лучевых разложений входит ряд параметров, характеризующих локальные свойства конгруенции лучей в окрестности рассматриваемого луча радиус кривизны фронта (расстояние по лучу до каустики), его производная вдоль фронта (выражается через радиус кривизны каустики в точ1ке отрыва луча), последующие производные и т. д. Радиут кривизны фронта входит уже в выражение для первого, геометрооптического члена лучевого разложения. Эти параметры, в принципе, могут быть вычислены для отраженной волны, поскольку известна- конгруенция лучей этой волны. Однако сравнительно просто получить, как следствие закона зеркального отражения, и явные выражения, связывающие на поверхности тела параметры конгруенций лучей отраженной и первичной волн. [c.47]

Выше был pa MOTipeH ряд ситуаций (окрестность гладкой ветви каустики, фокальная линия), в которых нельзя использовать лучевые разложения, поэтому приходилось обращаться к асимптотикам более сложного вида. Нетрудно указать, однако, случаи, когда неприменимо ни одно из приведенных разложений. Примерами могут служить окрестность точки возврата каустики, окрестность фокуса сходящейся волны, область пересечения двух каустических поверхностей и т. д. Как быть в этих случаях Как определить поле в тех областях, где, с одной стороны, законы ГО неприменимы, а с другой стороны, известна лучевая структура подходящего к каустике поля и, вдали ог каустики, лучевое разложение этого поля [c.77]

Приближенный метод Кирхгофа оказывается удобнее в более сложных ситуациях, где ГТД отказывает, например в области каустик, где лучевые разложения приходится заменять каустическими а ПК по-прежнему применимо и дает верный главный член асимптотики. В окрестности мест фокусировки, т. е. мест, где каустика имеет точки возврата, ПК является приближенным интегральным представлением поля, которое можно рассматривать как новую специальную функцию. [c.141]

В чем польза от такого дифракционного интеграла С его помощью можно рассмотреть те области, где непригодны и лучевые, и каустические, и фокальные разложения, т. е., например, упомянутые окрестности точек возврата каустик, пересечения каустических поверхностей и т. д. Конечно, представление поля в виде дифракционного интеграла — это еще не решение проблемы вычисления поля, а лишь ее сведение к другой — к вычислению интеграла. Однако эта задача проще, чем первоначальная во многих случаях она может быть решена методом стационарной фазы или его модификациями, а кроме того, всегда можно попользовать чи-сленное интегрирование. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...