ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Изоэнергетическая редукция из "Аналитические основы небесной механики " Хн и если [ 1 не стремится к оо при ге— - оо, то q t) представляет собой равновесное решение. [c.149] Это множество представляет собой часть (лежаш,ую в е-окрест-ности д ) того множества которому принадлежит точка д (см. (ш) 167). Следует различать при этом два случая, когда градиент силовой функции или обрапцается в нуль в заданной точке позиционного пространства (случай I) или не обращается (случай П). [c.149] В соответствии со сказанным интегральная кривая с энергией h никогда не может пересечь гиперповерхность Zh, так как эта кривая или вырождается в ед1шственную точку, принадлежащую Zh, или как бы отражается от этой гиперповерхности (если вообще ее достигает). [c.150] Утверждение в 166 о необходимости появления точек возврата в случае q t°) = Ф q t) представляет собой естественное следствие доказанного. Противоположное утверждение также является очевидным. [c.150] Этим самым (5) доказано. [c.152] Интеграл (7г) называется действием (по Гамильтону), а интеграл (7з) — изоэнергетическим действием, соответствующим данной кривой д = Разумеется, интеграл (7г) (но не (7з)) можно рассматривать и тогда, когда кривая 5 = д(0 не удовлетворяет соотношению Т — II = к. [c.153] Заметим, что сказанное выше справедливо лишь тогда, когда д 1) ф О (см. 171). Действительно, если д (0 = О, то величина используемая в конце 171, теряет свой смысл (см. (З2) ). В соответствии с изложенным в 169 условие д [1) ф О в принципе Мопертюи исключает, с одной стороны, точки равновесия, а с другой стороны, -интервалы (если они имеются), содержащие значения t = при которых интегральная кривая в позиционном пространстве имеет точку возврата. Другими словами, надо предположить (см. 168), что ни при каких i в рассматриваемом -интервале точка интегральной кривой с постоянной энергии к не принадлежит множеству Ъи. [c.153] Если решение q = q t) системы [Ж], = О известно, то формула t = i(i), связывающая t -в. t, может быть получена из (10) обращением интеграла. В частности, функция t t) определяется с точностью до аддитивной постоянной. [c.155] Эти решения системы (15i) удовлетворяют инвариантному для этой системы соотношению Н = О, поскольку и равенства Н = h и Я = О эквивалентны друг другу в силу (15), где G = 0. [c.158] Разумеется, переход от (17) к (18) носит локальный характер, так как при построении функции К используется локальная теорема существования неявных функций. Добавим также, что можно было бы ввести переменную t = Qn п с помощью правила, изложенного в 175. [c.159] Очевидно, что условие Яр (р, д) = О можно заменить любым из 2га условий ЯрДр, д) ф О, Я, (р, д) О, t = 1. га, и тогда t окажется равным gi или Pi соответственно. [c.159] Заметим, что по крайней мере одно из этих Ъг условий удовлетворяется в окрестности любого решения х = x t) системы (14о), отличного от равновесного решения x f) = onst. [c.159] Конечно, функция V должна содержать одну постоянную интегрирования (соответствующую фиксированному значению h), и если решение q = q it) системы [L q = О известно, то определение исключенной координаты q-n = qn t) требует, как можно ожидать, одной квадратуры (соответствующей (14) и вырождающейся в случае предыдущего параграфа в равенство t = qn + -Ь onst). [c.160] Последнее условие определяет положительно определенную ( —1)-матричную функцию gji ), поскольку ге-матрица ( ) = = (g ih) , а следовательно, и (и — 1)-матрица g ) положительно определены в силу (2i) 155. [c.161] Заметим, что консервативная функция Лагранжа (21) с и — 1 степенями свободы вообще необратимого типа ((//) 0), хотя исходная функция Лагранжа (19) обратимого типа ((Д) = (0)). [c.161] Вернуться к основной статье