Особенности дифференцирования операторов

Б.1. Особенности дифференцирования операторов [c.670]

Как И В одномерном случае, передаточные функции стационарного объекта имеют дробно-рациональный вид. Отметим одну характерную особенность передаточных функций объекта, описываемого многомерным функциональным оператором. Передаточная функция стационарного объекта, описываемого одним уравнением вида (3.1.1) с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональное выражение (3.1.35), в числителе которого стоит многочлен порядка т, где т — наивысший порядок дифференцирования в правой части уравнения (3.1.1). В том случае, когда в правую часть (3.1.1) входит только функция u t), а не ее производные, этот многочлен вырождается в константу, и передаточная функция принимает вид (3.1.45). В многомерном случае, когда объект имеет по несколько входных и выходных параметров, все передаточные функции также являются дробно-рациональными. Однако порядок многочлена, стоящего в числителе этих дробно рациональных функций, отличен от нуля даже тогда, когда в уравнения входят только параметры Ui i) и не входят их производные. [c.96]

В большинстве практических случаев обобщенные функции f = D W являются обычными, за исключением сосредоточенных особенностей в некоторой подобласти G, при этом вне G порождающая функция fV имеет непрерывные производные. (Здесь D W- оператор дифференцирования функции W). Если рассматривать / как обобщенную функцию, эти особенности будут учтены только в операциях для обобщенных функций через скалярное произведение. [c.31]

Комплексная запись особенно удобна потому, что при ее использовании дифференцирование напряженности поля по времени d/dt сводится, как видно из (1.25), просто к умножению на —/со. Стоящее в показателе экспоненты в (1.25) скалярное произведение кг можно записать в виде k x + куу - - k z, поэтому дифференцирование Дг, /) по координате х сводится к умножению Е (г, /) на ikx. Так как оператор V означает дифференцирование по координатам, то его применение к напряженности поля сводится к умножению ее на вектор /к. Поэтому для плоской монохроматической волны, у которой напряженность Е(г, /) электрического поля и индукция В(г, /) магнитного поля записаны в комплексной форме (1.25), уравнения Максвелла (1.14) — (117) принимают следующий вид [c.16]

Заметим теперь, что согласно (2.3) для I = 1, 2, 3 Ф 4 (у — х, со) — ограничены, а их первые производные (см. (П1, 3.6)) допускают особенность вида I X — у и Ф44 также имеет сингулярность типа х — у Ч Далее, на основании определения оператора (ду, п), 3 при , / == 1, 2, 3 содержит операцию однократного дифференцирования по геометрической координате, а 4 и 4 для 1= 1, 2, 3, 4, вовсе не содержат операторов диффе- [c.400]

Предыдущие теоремы описывают алгебру Ли полей Wa в терминах градуированной локальной алгебры соответствующей особенности. Обозначим через М, Q Q оператор умножения на элемент q Q. Для любого дифференцирования D Q Q определим линейный оператор [c.94]

В левой части (7.7), помимо искомой функции Грина О, фигурирует также двухчастичная функция О2. Уравнение для нее составляется совершенно аналогичным образом, и легко усмотреть, что в него, помимо О2, войдет также трехчастичная функция Грина Од, содержащая уже шесть операторов а, а под знаком усреднения.. Продолжая этот процесс, получим бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений. Естественно, наряду с (7.7) и т. д. надо рассматривать и цепочку сопряженных уравнений, получающихся при дифференцировании О, О ,. .. по х (а не по Хц). В дальнейшем мы, как правило, не будем явно оговаривать это обстоятельство, лишь подразумевая его. По структуре левых частей цепочка уравнений для функций Грина вполне аналогична цепочке уравнений для частных функций распределения, найденной в работах [2], [3]. Разница состоит в том, что в нашем случае искомые функции зависят от двух времен и система не однородна. Последнее обстоятельство связано с наличием у рассматриваемых функций особенностей при совпадении временных аргументов, т. е. именно с тем, что позволило нам в 4, 5 расширить определение спектральных функций на всю комплексную плоскость. Мы увидим, что это действительно весьма облегчает решение конкретных задач. Появление таких цепочек типично для любого [c.61]

Чтобы немного расшифровать эту формулировку, напомним, что под EPif и Е Q/f сейчас нужно понимать ряды Фурье со скобками по корневым функциям оператора А и по собственным функциям оператора ReA на S. Из теоремы 3 следует, что скобки можно расставлять способом, описанным в п. 2 35. При этом, чем выше гладкость функции f, заданной на S, тем быстрее сходится интересующий нас ряд Y Pif. Например, если f S), то модули членов этого ряда убывают быстрее с любым натуральным N и такой же быстрой остается сходимость после (локального) почленного дифференцирования этого ряда любое число раз. Кроме того, за исключением случая п = 3, Im e < О, имеет место равносходимость рядов X Pif, YiQif для негладких или не очень гладких f, особенно быстрая при 1тй = 0. Например, если 1т/г = 0 и f " S), то модули функций Pif — Qif убывают при 1 >оо быстрее с любым натуральным N. Такой же [c.355]

Нормальные формы f простых особенностей квазиоднород-ны с весом 1 при положительных весах VI,.... Уп переменных. Обозначим через S>= EviXiд/дXi квазиоднородный оператор Эйлера. Тогда 25/=/. Оператор 2) переводит градиентный идеал /дх ) в себя и, следовательно, действует на локальной алгебре как дифференцирование этой алгебры. [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...