Определение деформаций с помощью конечных разностей

Определение деформаций с помощью конечных разностей [c.92]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Для определения общей потенциальной энергии деформируемой системы, обусло1зленной действием изгибающих и крутящих моментов, введена конечно-разностная схема с пересекающейся сеткой. Использование этой схемы дозволяет уменьшить погрешность аппроксимации выражений для потенциальной энергий деформации, вызванной крутящим моментом, с помощью конечно-разностных соотношений, и, кроме того, исчезает необходимость введения фиктивных узлов в граничной области. Узловые подобласти, используемые в этом методе, дают возможность получить приближенные конечные суммы, базирующиеся на значениях функций в узлах сетки, покрывающей определенным образом рассматриваемую пластинку. Выражение потенциальной энергии деформации для граничных узловых подобластей соответственно изменяется таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для изгибающего момента и чтобы обеспечивалась возможность применения центральных конечных "разностей в районе границ. Дополнительные граничные условия для напряжений удовлетворяются автоматически в процессе минимизации, приводящей к конечно-разностным соотношениям, подобным тем, которые получаются при прямом использовании метода конечных разностей, но без применения фиктивных узлов, лежащих за границей пластинки. [c.115]

Цель подобных преобразований растяжения та же, что и при деформации расчетных сеток, которая обсуждалась выше в разд. 6.1, — добиться увеличения разрешения в определенной области. Заметим, однако, что эти два подхода по существу различны ). Когда непреобразованные уравнения представляются уравнениями в конечных разностях на растянутой расчетной сетке, то, как мы видели выше, в результате получается ухудшение формальной точности напротив, преобразованные уравнения могут быть представлены уравнениями в конечных разностях на равномерной расчетной сетке (например, с постоянными АХ, ДУ) без ухудшения порядка формальной точности с той лишь разницей, что порядок ошибки будет равен О(ДУ ), а не 0(Ду2). Следовательно, в этом случае предпочтительнее преобразование координат. О потенциальных возможностях преобразования координат свидетельствует тот факт, что при помощи соответствующего параболического преобразования координат можно получить точное решение для течения Пуазейля на расчетной сетке, содержащей всего одну внутреннюю точку (Блоттнер и Роуч [1971]). [c.434]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...