Линеаризованный оператор столкновений

Формулы (ЗА.39) и (ЗА.40) являются значительным достижением кинетической теории газов. Они позволяют вычислять коэффициенты переноса для конкретных моделей сечения рассеяния в линеаризованном операторе столкновений Больцмана (ЗА.35). [c.239]

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ОПЕРАТОР СТОЛКНОВЕНИЙ [c.79]

Гл. 3. Линеаризованный оператор столкновений [c.80]

Основные свойства линеаризованного оператора столкновений 81 [c.81]

Проведенный анализ показывает, что при решении уравнения Больцмана методами возмущений особенно важен линеаризованный оператор столкновений. В связи с этим мы изучим в настоящей главе свойства оператора L. [c.81]

Определение (1.7) линеаризованного оператора столкновений L и формула (1.2) гл. 2 позволяют написать следующее выражение для L [c.81]

В (2.2) линеаризованный оператор столкновений представлен в его стандартной форме. [c.81]

Некоторые полезные свойства линеаризованного оператора столкновений можно получить, даже не доказывая, что К вполне непрерывен. Очень интересное свойство дает следующая [c.91]

Очевидно, что формула (1.4) имеет существенно более простую структуру, чем истинный линеаризованный оператор столкновений. [c.102]

Описанная методика применима только в случае максвелловских молекул. Однако уже незначительное обобщение разложения (2.6) дает возможность создавать модели интеграла столкновений для любого типа линеаризованных операторов столкновений. Действительно, ничто не мешает нам разложить к в ряд по (по собственным функциям оператора столкновений для максвелловских молекул), даже если мы рассматриваем другую модель молекул. В этом случае имеем [c.106]

Поэтому естественно ввести и изучить модели, сохраняющие упомянутые выше свойства линеаризованного оператора столкновений. Это можно сделать многими различными способами. [c.108]

Линеаризованный оператор столкновений Ь базируется на максвелловской функции /я(0) следовательно, его собственные значения и собственные функции зависят от пространственных переменных, но не от времени. Так как функция / в виде (5.2) должна удовлетворять начальным условиям, то /я(0) есть не что иное, как фигурирующая в начальных данных максвелловская функция /м это полностью определяет Ь. Теперь разложим заданную в начальный момент времени функцию / в ряд по степеням 8 [c.134]

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ОПЕРАТОР СТОЛКНОВЕНИЙ 183 [c.183]

Основное различие между линейным и линеаризованным уравнением Больцмана (2.6) заключается в том, что линеаризованный оператор столкновений L (1.7) имеет пять собственных [c.190]

Простейшая модель линеаризованного оператора столкновений получается при линеаризации БГК-модели. Полагая в (II. 10.3) / = /о(1 + ft) и пренебрегая степенями h выше первой, имеем [c.232]

ЭТИ свойства операторов и влияют как-то на решение конкретных задач, то это влияние исчезает, когда применяются модели вида (9.12) (или —в частном случае — вида (9.8)). Поэтому удобно ввести и исследовать модели, которые сохраняют указанные выше характерные черты линеаризованного оператора столкновений сделать это можно несколькими способами. [c.235]

Линеаризованный оператор столкновений L и оператор Г задаются формулами [c.287]

Систематическая методика уточнения линеаризованной БГК-модели, в которой последняя является первой из последовательности моделей, аппроксимирующих оператор столкновений для максвелловских молекул с произвольной точностью, была предложена Гроссом и Джексоном [6]. Авторы исходили из разложения оператора столкновений для максвелловских молекул в ряд по собственным функциям (формула (5.25) гл. 3), который здесь представим в виде [c.105]

Характерная черта рассмотренных в 2 моделей линеаризованных интегралов столкновений — их связь с ограниченными операторами с чисто дискретным спектром (с бесконечнократно вырожденным собственным значением). Действительно, упомянутые выше операторы столкновений можно представить в виде [c.107]

Как известно, ряд Чепмена — Энскога по существу есть разложение оператора таким образом, его сходимость имеет смысл только для определенного класса функций, на которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана для любого вида оператора столкновений легко получить нормальные решения, разложения которых определенно сходятся, так как оии состоят из конечного числа членов. Решения эти — полиномы по пространственным и временной переменным. Например, легко проверить, что не зависящая от времени функция [c.168]

Правая часть этого уравнения определяет линейный интегродиф-ференциальный оператор К. Уравнение (13.1.6) называется линеаризованным кинетическим уравнением, К — линеаризованным оператором столкновений. Изучим некоторые из его свойств. [c.86]

Мы видим, что производная (ЗА.28) нронорциональна градиентам гидродинамических неременных. Поэтому уравнение (ЗА.22) можно решать методом последовательных приближений, раскладывая Sf в ряд по градиентам ). Малость градиентов означает, что процессы переноса происходят медленно. С другой стороны, благодаря столкновениям, неравновесная функция распределения релаксирует к локальному распределению Максвелла, т. е. поправка 6f стремится к нулю. Характерным временем релаксации для Sf является среднее время свободного пробега г >, так как оператор (ЗА.25) является не чем иным как линеаризованным оператором столкновений Больцмана. Если гидродинамические переменные мало изменяются за время порядка г >, то в уравнении (ЗА.22) можно пренебречь производной по времени, т. е. его можно решать в стационарном приближении. Мы ограничимся этим приближением и найдем Sf в первом порядке по градиентам гидродинамическим переменных ). Заметим, что в этом случае функционалом A[Sf] в уравнении (ЗА.22) также можно пренебречь, так как он соответствует членам более высокого порядка по градиентам [см. выражение (ЗА.24)]. [c.238]

Описанный метод подобен тому, который использовался применительно к моделям для максвелловских молекул в 2 (основное различие состоит в том, что мы не знаем, существует ли динамическая модель, в которой соответствующие функции представимы в виде (4.7)). Более общий и обоснованный метод аналогичен моделированию линеаризованного оператора столкновений немаксвелловских молекул, также рассмотренному в 2. Согласно последнему, берем функции определяемые формулой (4.7), в качестве базиса гильбертова пространства, даже если они не являются собственными функциями оператора А. В этом случае [c.112]

Указанная схема применима липть к случаю максвелловских молекул. Однако небольпюе обобщение разложения (9.5) позволяет получать столкновительные модели, соответствующие любым линеаризованным операторам столкновений [37]. Действительно, ничто не мептает использовать разложение (9.4) даже в том случае, когда (собственные функции максвелловского оператора столкновений) не являются собственными функциями рассматриваемого оператора. Применение Ь к обеим частям (9.4) дает [c.234]

Линеаризованный оператор столкновений Ь основан на макс-веллиане /я(0), поэтому его собственные значения и собственные функции зависят от координат, но не от времени. Поскольку [c.280]

Мы не останавливаемся здесь на доказательстве существования дискретного спектра величин V. Это специальный вопрос. Математики нашли частные случаи взаимодействия, когда проблема собственных значений линеаризованного оператора столкновений решаете точно, и там спекф и действительно оказывается дискретным, как это показано на рис. 201, но доказать это в общем случае или хотя бы для случая твердых сфер в полной мере не удается. [c.326]

Идея, лежаш ая в основе такой замены, состоит в том, что мгготие детали взаимодействия двух тел (которые содержатся в интеграле столкновений и проявляются, следовательно, в спектре линеаризованного оператора) вряд ли суш ественно влияют на значения многих измеряемых в эксперименте величин. Иначе говоря, если речь идет не об очень детальных экспериментах, то можно не учитывать тонкую структуру оператора Q (/, /) ж ограничиться более грубым описанием, основанным на использовании более простого оператора / (/), сохраняюш его только качественные и средние свойства истинного оператора столкновений. [c.100]

Алгоритм уточнения линеаризованной БГК-модели, вклю-чаюндий ее как первый член в последовательность моделей, аппроксимирующих оператор столкновений для максвелловских молекул с любой заданной точностью (в подходящей норме) предложен Гроссом и Джексоном [36]. Исходным при этом является разложение h в ряд по собственным функциям оператора столкновений для максвелловских молекул (разд. 6), образующим полную систему ортогональных функций [c.233]

Т. е. совпадает с одномерным стационарным линеаризованным уравнением Больцмана, исследованным в разд. 7 гл. IV (уравнение (7.1) при xi = X). В силу наших предположе-нпп L представляет собой оператор столкновений, линеаризованный около максвеллиана стенки при соответствующей плотности. По аналогии с (5.9) (для п = I) имеем [c.285]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...