Дискретизация уравнений по пространственным переменным

Дискретизация уравнений по пространственным переменным [c.171]

Для решения на электронных АВМ задач, описываемых уравнениями в частных производных (каковым, например, является дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, см. п. 1.3.1), применяется метод дискретизации по пространственной переменной, т. е. в рассматриваемой задаче по координате X. Это означает, что в процессе решения определяется температура лишь в конечном числе точек, которые называются узлами сетки (см. п. 1.3.5). [c.216]

Рассмотреть метод исследования устойчивости, основанный на дискретизации по пространственной переменной при отсутствии дискретизации по времени. Этот метод, вероятно, был бы приемлем для гибридных (аналого-цифровых) вычислительных машин, в которых текущее время задачи находится в определенном соответствии со временем вычислительной машины. Этот метод можно было бы использовать для изучения классов разностных схем, которые строятся в виде комбинации схем для одномерных обыкновенных дифференциальных уравнений например, схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной принадлежит к этому классу, а схема Лейта не принадлежит. [c.531]

При решении данного типа задач возможны два подхода. Первый подход состоит в приложении использованных выше рассуждений в каждый момент времени t, т. е. производится дискретизация только по пространственным переменным искомые параметры здесь являются функциями времени и для их определения получаются алгебраические, обыкновенные или интегро-дифферен-циальные уравнения —в зависимости от исходной задачи, которые решаются известными методами с помощью разработанных программ (Рунге — Кутта, Адамса и т, д.). При втором подходе независимая переменная — время / —считается формально равноправной с пространственными переменными х,- и производится разбиение на конечные элементы цилиндра, любое сечение которого плоскостью = onst — область изменения независимых переменных Xi, переменная t отсчитывается вдоль образующей цилиндра. Недостаток данного подхода — резкое увеличение размерности задачи, если только для движения вдоль временной переменной не применять специальные методы. Приведем описание первого подхода (представляющего собой, впрочем, частный случай второго). [c.212]

Для простоты покажем допустимость расщепления уравнения теплопроводности по пространственным переменным при достаточно малом шаге по времени без учета дискретизации пространственной области. С этой целью сопоставим точное решение уравнения (3.73) в конце малого промежутка времени [Tj j, ту] с его приближенным решением w х, у, т ), получаемым в результате решения на этом же промежутке времени следующей системы, возникающей при расщеплении [c.119]

Большое количество задач упругодинамического роста трещин было решено численно методом конечных элементов. Как и в случае методов конечных разностей, подходы с применением метода конечных элементов различают по тому, каким образом манипулируют с полями в окрестности вершины треш,ины. Чаще всего для этой цели применяют либо моделирование процесса роста трещины с постепенным уменьшением усилий в соответствующих узлах конечно-элементной сетки, включение подвижного элемента, интерполирующие функции для которого берутся из решений континуальных задач с напряженным состоянием окрестности вершины трещины, или же используют контурный интеграл энергии. После конечно-элементной дискретизации по пространственным переменным необходимо произвести интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений по вре-.мени для узловых переменных. Поскольку динамические поля, соответствующие быстрым процессам роста трещины, содержат большое число высокочастотных составляющих, то для получения высокой точности шаги по времени должны быть небольшими. Было установлено, что вследствие этого естественного ограничения на величину шагов по времени эффективными во многих случаях оказываются условно устойчивые явные схемы интегрирования по времени, использующие процедуру диагона-лизации матрицы масс. [c.121]

На рис. 2.1 показаны преобразования непрерывных ММ в процессе перехода от исходных формулировок задач к рабочим программам, представляющим собой последовательности элементарных арифметических и логических операций. Стрелками 1, 2 и 3 показаны переходы от описания структуры объектов на соответствующем иерархическом уровне к математической формулировке задачи. Дискретизация (4) и алгебраизация (5) ДУЧП по пространственным переменным осуществляются методами конечных разностей (МКР) или конечных элементов (МКЭ). Применение МКР или МКЭ к стационарным ДУЧП приводит к системе алгебраических уравнений (АУ), а к нестационарным ДУЧП — к системе ОДУ. Алгебраизация и дискретизация системы ОДУ по переменной i осуществляются методами численного интегрирования. [c.22]

Добавление такого члена в уравнение (3.543) кажется достаточно безобидным, поскольку при этом не требуется дополнительной дискретизации по пространственной переменной. В действительности же при исследовании устойчивости этот член, который делает уравнение жестким (Кертис и Гирш-фельдер [1952] )), может оказаться доминирующим по сравнению с другими членами. [c.292]

Отметим, что временная переменная непрерывна формулировка Галёркина (или, точнее, Фаэдо—Галёркина) подразумевает дискретизацию по пространственным переменным и приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений от временной переменной, Эти уравнения и подлежат численному решению. Чтобы записать полученную задачу в операторной форме, выберем в пространстве пробных функций 5 базис фь. .., флг и разложим неизвестное решение по базисным функциям [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...