Трансфер-матрица восьмивершинной модели

Действительно, можно показать [23, 26], что для любых У , У , У оператор Нравен логарифмической производной от некоторой трансфер-матрицы восьмивершинной модели. Поэтому можно вычислить минимальное собственное значение оператора Ж Такое вычисление проводится в настоящем разделе. [c.262]

Чтобы получить точные коммутационные соотношения, необходимо использовать явное представление операторов для введения циклических граничных условий. Кроме того, чтобы привести трансфер-матрицу к форме, аналогичной (6.4.30а), необходимо вводить неудобный циклический сдвиг спиновых индексов при переходе от одного ряда к следующему. По этим причинам коммутационные соотношения для шести- и восьмивершинных моделей Изинга будут получены непосредственно без использования (6.4.30), (6.4.31). Но и в этом случае коммутационные соотношения всегда являются, как будет подчеркнуто ниже, прямым следствием соответствующего соотношения звезда — треугольник. [c.91]

Обсуждение всех этих подходов в деталях выходит далеко за пределы данной книги. В этой главе будет представлен метод, который может быть назван методом коммутирующих трансфер-матриц. Его преимуществом является возможность обобщения для решения восьмивершинной модели, как это показано в гл. 9. [c.93]

Это кажущееся противоречие возникает из-за того, что трансфер-матрица VW не является, вообще говоря, симметричной матрицей поэтому не все ее собственные значения действительны. Собственное значение Л2 является просто наибольшим в целой полосе собственных значений, различающихся аргументами. В пределе больших п эта полоса становится непрерывной, и вклад от у = 2 в (7.10.33) может быть компенсирован вкладами от собственных значений, которые сколь угодно близки к Л2 по модулю, но различаются своими аргументами. Было показано [120, 122], что подобная ситуация имеет место в случае восьмивершинной модели, обсуждаемой в гл. 10. [c.122]

Учитывая всю трудность вычисления, это изумительно простой результат. Интересно, что какой-либо простой способ его получения так и не найден. Вывод, использующий угловые трансфер-матрицы и применимый к более общей восьмивершинной модели, дан в разд. 13.7. [c.123]

Как показано в гл. 10, модели типа льда представляют собой специальный случай восьмивершинной модели, которая также может быть решена. Модели типа льда в фазе III соответствуют восьмивершинной модели при критической температуре. В этом случае имеется бесконечное число собственных значений трансфер-матрицы, вырожденных с максимальным значением. Спонтанный порядок и поверхностное натяжение отсутствуют, но корреляционная длина бесконечно велика. [c.154]

Цель данной главы состоит в том, чтобы исследовать результаты гл. 8 и показать, что они содержат указание на возможность другого способа их вывода. Этот альтернативный способ может быть назван методом коммутирующих трансфер-матриц он будет использован в гл. 10 для решения восьмивершинной модели. [c.183]

Трансфер-матрица V восьмивершинной модели определена выражением [c.263]

Уравнение (10.14.20) связывает А"У7-оператор с трансфер-матрицей V восьмивершинной модели. Здесь матрица V вычисляется при значениях весов Оу by Су d, бесконечно близких к значениям (10.14.7), при которых трансфер-матрица равна простому оператору сдвига. [c.269]

Приведенные выше аргументы легко распространить на решетки других типов и размерностей. Однако следует отметить, что двумерная восьмивершинная модель без внешнего поля обладает одним исключительным свойством которое указанным способом не обобщается на другие системы трансфер-матрица V такой модели всегда коммутирует с некоторым У7-оператором, даже если V значительно отличается от соответствующего оператору сдвига. [c.270]

Как показано в разд. 10.4, первым этапом в решении восьмивершинной модели было установление класса коммутирующих трансфер-матриц ряд — ряд. Руководствуясь этим, я рассмотрел решеточную модель, трансфер-матрицы которой коммутируют с трансфер-матрицами модели жестких гексагонов. Изобразим треугольную решетку так, как показано на [c.407]

Приведенное свойство аналитичности аналогично свойству (13.7.3) восьмивершинной модели. Здесь не доказывается это свойство, но оно, по-видимому, справедливо соответствующие аргументы можно вывести из уравнений (13.8.31) для угловых трансфер-матриц. В области I данное свойство приводит к результатам, которые согласуются с выражениями [c.422]

Наиболее простым методом диагонализации трансфер-матрицы в задаче о фермионах или восьмивершинной модели, без сомнения, является созданный недавно операторный подход Фад- [c.248]

Операторы Я/ можно получить дифференцированием трансфер-матрицы неоднородной восьмивершинной модели, рассмотренной в гл. 8. Действительно, в обозначениях гл. 8 имеем [c.293]

Джонсон и др. [122] получили также выражение для J при 1/2 < X < Г и обнаружили, что формулы (10.10.12) и (10.10.13) не выполняются при X > 21 /3. Такое поведение типично для вычислений немаксимальных собственных значений трансфер-матрицы восьмивершинной модели результаты, полученные при значениях X из разных частей интервала (О, / ), оказываются различными. Отчасти это обусловлено группами нулей, имеющими длину, большую, чем период 21 функции q(v), и появляющимися поэтому по другую сторону прямоугольника периодичности. Это свойство сильно затрудняет изучение немаксимальных собственных значений. [c.245]

Собственные векторы трансфер-матрицы восьмивершинной модели и УZ-гaмильтoниaнa представляют собой одни и те же функции, зависящие только от Г и Д. [c.270]

Существует тесная связь между трансфер-матрицей восьмивершинной самосопряженной модели и гамильтонианом анизотропной цепочки с тремя параметрами. В свое время для моделей сегнетоэлектриков в отсутствие внешнего поля Маккой, Ву (1968) и Барух (1972) показали, что трансфер-матрица коммутирует с гамильтонианом Гейзенберга — Изинга. Либ (1967) диагонализовал Т (с1 = 0) с помощью волновых функций гамильтониана Н Инвариантность обоих операторов по отношению к вращениям вокруг оси анизотропии вытекает из условия льда и выражается в сохранении компоненты полного спина 8 = N/2 — М от строки к строке. Одна из трудностей восьмивершинной модели состоит как раз в отсутствии такого закона сохранения. [c.166]

Цель настоящего раздела состоит в том, чтобьь преобразовать трансфер-матрицу Т восьмивершинной. модели в трансфер-матрицу W модели типа Изинга, которая будет описана в ходе самого преобразования. Обнаружив с помощью своего метода диагонализации, что следы произведений определенных матриц в некотором смысле инвариантные относительно умножения на 7, Бакстер (1973а) детально проанализировал эту операцию и построил инвариантный по отношению к Т базис векторов. Эти векторы, имеющие 2 компонент с индексами Р1Р2. .. рл , нумеруются наборами целых чисел /1/2. .. 1м и имеют ту же структуру, что выражения, определяющие матрицы и или, точнее, [c.195]

Сезерленд [220] прямо показал, что трансфер-матрица любой восьмивершинной модели без внешнего поля коммутирует с оператором Гамильтона А"У7-модели. Поэтому они имеют одни и те же собственные векторы. Я не был знаком с результатом Сезерленда, когда изучал восьмивершинную модель. (Большая часть работы была проделана на борту лайнера Аркадия в Атлантическом и Индийском океанах. Такая обстановка помогает сосредоточиться, но затрудняет обмен информацией.) Из разд. [c.262]

Таким образом, если выражения (10.4.6) и (10.14.19) удовлетворяются при одних и тех же значениях Г и А, то трансфер-матрица V восьмивершинной модели коммутирует с гамильтонианом Л У2-цепочки. Они имеют одинаковые собственные векторы (это результат Сезерленда [220]). [c.265]

Тем не менее с математической точки зрения рассмотрение обобщений восьмивершинной модели на неоднородные системы может оказаться полезным. При вычислении спонтанной поляризации в шестивершинной модели антисегнетоэлектрика [29] широко использовалась такая форма зависимости собственных векторов трансфер-матрицы от величин. . . , Замечания, сделанные после формулы (10.17.2), играют ключевую роль в гл. 13 при установлении мультипликативных свойств угловых трансфер-матриц. [c.278]

В разд. 9.6 с помощью электрического языка стрелок на ребрах показано, что в шестивершинной модели две трансфер-матрицы коммутируют между собой, если выполняется соотношение звезда — треугольник (9.6.8). Этот результат обобщен на восьмивершинную модель в разд. 10.4, а в разд. 11.5 он сформулирован на магнитном языке изинговых спинов. [c.370]

В настоящей главе для вычисления свободной энергии использован прием, связанный со свойствами обратимости, а подрешеточные плотности и, параметр порядка определены с помощью диагонализации угловых трансфер-матриц. В отличие от восьмивершинной модели, рассмотренной в гл. 10, мы не получили точных уравнений для всех собственных значений трансфер-матрицы ряд — ряд. В результате нам не удалось вычислить поверхностное натяжение и корреляционную длину. [c.449]

По-видимому, метод коммутирующих трансфер-матриц нельзя использовать для решения модели Изинга и других моделей в присутствии внешнего поля или даже для решения некритической модели Поттса. Мне кажется, что единственная надежда решить восьмивершинную модель и модель Поттса состоит в том, чтобы найти подходящие алгебраические методы подобные тем, которые привели Онсагера [184] и Кауфман [143] к решению модели Изинга без внешнего поля. (Вера в существование таких методов основана на том, что диагонализованные угловые трансфер-матрицы бесконечной решетки имеют простой вид прямого произведения [c.451]

Рассмотрение вершинных моделей на квадратной решетке начинается в гл. 7 с метода Либа для диагонализации трансфер-матрицы общей шестивершинной модели, удовлетворяющей условию нейтральности. Исследование термодинамики различных моделей сегнетоэлектриков дано схематически, и по этому вопросу следует обратиться к развернутому обзору Либа и Ву. Решение восьмивершинной модели (самосопряженной) описано в гл. 8 и 9, где в основном используется метод Бакстера. Там же интегрируемость трансфер-матрицы или соответствующего гамильтониана с тремя константами анизотропии связывается с существованием тернарных соотношений между матрицами вершинных весов. Эти тернарные соотношения, называемые также соотношениями звезда — треугольник, представляют собой замечательные представления группы перестановок и приводят к существованию коммутирующих однопараметрических семейств операторов,-что, в свою очередь, влечет за собой интегрируемость. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...