Звезда — треугольник, соотношение для ВСГ-модели

Уравнение (9.6.10) совпадает с (6.4.27). Таким образом, введенные здесь операторы С/ удовлетворяют тому же соотношению звезда — треугольник, что и соответствующие операторы в разд. 6.4 для модели Изинга. Поскольку (9.6.10) является прямым следствием (9.6.8), я буду называть (9.6.8) соотношением звезда — треугольник для моделей типа льда, хотя это и не совсем точное название. [c.191]

Сравнивая (9.7.14) с (7.13.5), мы снова видим весьма близкую аналогию между соотношениями звезда — треугольник для модели типа льда и модели Изинга. [c.195]

Звезда — треугольник, соотношение для восьмивершинной модели 213—218, 282, 283, 292 [c.479]

Помимо соотношения дуальности (6.3.7), между статистическими суммами моделей Изинга на треугольной и шестиугольной решетках существует еще одно соотношение между ними, известное как соотношение звезда — треугольник . Онсагер [184] ссылается на него мимоходом во введении к своей статье, посвященной решению модели Изинга для квадратной решетки. Ванье [246] выписал его в явном виде, и с тех пор оно было представлено во многих работах (см., например, [114]). [c.85]

Чтобы получить точные коммутационные соотношения, необходимо использовать явное представление операторов для введения циклических граничных условий. Кроме того, чтобы привести трансфер-матрицу к форме, аналогичной (6.4.30а), необходимо вводить неудобный циклический сдвиг спиновых индексов при переходе от одного ряда к следующему. По этим причинам коммутационные соотношения для шести- и восьмивершинных моделей Изинга будут получены непосредственно без использования (6.4.30), (6.4.31). Но и в этом случае коммутационные соотношения всегда являются, как будет подчеркнуто ниже, прямым следствием соответствующего соотношения звезда — треугольник. [c.91]

В разд. 11.7 будет показано, что в случае модели Изинга можно полностью избежать применения формализма трансфер-матрицы свободная энергия получается с помощью одного лишь соотношения звезда — треугольник и его следствий [c.91]

Если коэффициенты Lj, 2 (6.4.8) малы, то малы также и величины A j, / 2, A j. Поэтому соотношение звезда — треугольник (6.4.7) отображает высокотемпературную модель на треугольной решетке на высокотемпературную модель на шестиугольной решетке. [c.91]

Совсем недавно [37, ПО] было показано, что плоская модель Изинга может быть решена весьма прямым способом с помощью соотношения звезда — треугольник разд. 6.4, используемого как рекуррентное соотношение. [c.93]

Привлекательной особенностью данного вывода является то, что используется только соотношение звезда — треугольник, которое представляет собой локальное свойство модели Изинга. Оно используется дважды сначала для установления свойства (11.5.17) и его следствий (11.7.17), [c.301]

Последняя формулировка, конечно, могла быть введена сразу независимо от других. В действительности соотношение звезда — треугольник можно записать (но не всегда решить) для любой ВСГ-модели. Пусть N столбцов квадратной решетки натянуты на цилиндр так, что за TV-м столбцом следует первый. Тогда элементы трансфер-матрицы V ряд — ряд имеют вид [c.370]

Из соотношений звезда — треугольник (13.3.6) следует, что две трансфер-матрицы ряд — ряд V и V коммутируют. Полученный результат можно обобщить на модель с неоднородными столбцами решетки того типа, который рассмотрен в разд. 10.17. Пусть больцмановские весовые функции м различны для разных столбцов решетки, но при этом параметры А и X не зависят от номера столбца. Обозначим через и ,. . . , /уу соответствующие переменные, отвечающие столбцам у = 1,. . . , ТУ, от которых зависит матрица V. [c.373]

Резюмируем сказанное выше. Параметризация (14.2.44) получается из решения соотношения (13.3.6) звезда — треугольник. Если две модели имеют одинаковые значения параметра дг, но разные значения и г, то их трансфер-матрицы ряд-ряд коммутируют. Больцмановские веса являются целыми функциями и. [c.418]

В дальнейшем мы будем считать, что все трансфер-матрицы действуют только между допустимыми состояниями некоторого ряда спинов, т. е. состояниями, удовлетворяющими ограничению (14.3.2). Размерность матриц при этом уменьшается. Уменьшение размерности матриц характерно для обобщенной модели жесткого гексагона и связано с ее разрешимостью, так как уменьшается число условий, входящих в соотношение звезда — треугольник (13.3.7).) [c.419]

Повторится ли это для модели жесткого гексагона Точнее говоря, будет ли решена более обшая модель, содержащая как частные случаи восьмивершинную модель и модель жесткого гексагона Я сомневаюсь-в этом. Первое обстоятельство, подтверждающее, что рассматриваемые модели весьма различны, состоит в том, что критический показатель 6 равен 15 для восьмивершинной модели и 14 для модели жесткого гексагона. Кроме того, соотношение звезда — треугольник (13.3.6) или (11.5.8) содержит много больше уравнений, чем неизвестных величин. Свойства симметрии восьмивершинной модели в четыре раза (от 64 до 16) уменьшают число уравнений. В случае обобщенной модели жесткого гексагона требование, чтобы никакие две частицы не занимали соседних узлов, исключает 44 уравнения из 64. При этом число уравнений и число неизвестных оказывается одинаковым. Таким образом, причины успеха в обоих случаях весьма различны, и мне кажется невероятной возможность найти непрерывный ряд решаемых моделей, соединяющих между собой восьмивершинную модель и модель жесткого гексагона. [c.450]

Соотношение звезда—треугольник для восьмивершинной модели [c.298]

Резюмируем все сказаннбе выше следующим образом трансфер-матрица V коммутирует с другой трансфер-матрицей К, если можно подобрать н " так, чтобы выполнялось равенство (9.6.8). Это условие аналогично соотношению звезда — треугольник для модели Изинга. [c.192]

Можно ли распространить рассмотренные методы на модели изингова типа в трехмерном пространстве Как показал Замолодчиков [266], соотношение звезда — треугольник (13.3.6) или (11.5.8) можно обобщить, вводя соотношение тетраэдра . Трудность связана с тем, что в данном случае нужно решить 2 уравнений (вместо 2 Х Одно очень полезное свойство двумерных моделей не сохраняется в трехмерных моделях. Если модель разбивается на две независимые модели (каждая на соответствующей подрешетке квадратной или простой кубической решетки), то весовые функции представляются в виде произведений функций, отвечающих независимым моделям. Соотношение звезда — треугольник для плоской решетки также разбивается на два идентичных соотношения (каждое из которых является соотношением звезда — треугольник для модели Изинга в разд. 6.4). Но соотношение тетраэдра в трехмерном пространстве разбивается на два неодинаковых соотношения, одно из которых тривиально, что, по-видимому, препятствует существованию интересных решений. [c.450]

Соотношение звезда — треугольник имеет весьма важные следствия. Рассмотрим две модели Изинга на квадратной решетке, аналогичные описанным в разд. 6.2, с разными значениями К и L, но с одинаковым значением sinh 2К sinh 2L. Онсагер [186] заметил, что из соотношения звезда — треугольник следует коммутативность диагональ-диагональных трансфер-матриц при условии, что наложены циклические граничные условия. [c.90]

Взятые вместе в указанном смысле преобразования звезда — треугольник и дуальности приводят к следующему соотношению самодуальности для модели Изинга на треугольной решетке [c.91]

Эллиптические функции появляются весьма часто в точно решаемых двумерных моделях статистической механики. Рассматриваемая модель интересна в том отношении, что эллиптические функции здесь нужны для преобразования (8.13.26) в интегральное уравнение с разностным ядром. Аналогичным образом они возникают также в предложенном автором методе решения трехспиновой модели [42, 43]. Как замечено в конце разд. 10.4, я предполагаю, что это преобразование к разностному ядру тесно связано с параметризацией обобщенного соотношения звезда — треугольник с помощью эллиптических функций. [c.179]

Выражение (10.4.30) в точности совпадает с выражением (9.7.13) для шестивершинной модели, поэтому восьмивершинные операторы Ц, определенные с помощью формул (9.6.9), (10.2.3) и (10.4.22), также удовлетворяют соотношению звезда — треугольник (9.7.14). т. е. [c.218]

Модель типа льда стала теперь шестивершинной моделью на решетке кагоме в отсутствие внешнего поля, что является частным случаем восьмивершинной модели, введенной в разд. 11.1, когда весовые множители ( 2, /з равны нулю. Далее, если условие (12.6.11) выполнено, то можно убедиться, что все шесть соотношений звезда — треугольник (11.1.7) удовлетворяются. [c.349]

В разд. 9.6 с помощью электрического языка стрелок на ребрах показано, что в шестивершинной модели две трансфер-матрицы коммутируют между собой, если выполняется соотношение звезда — треугольник (9.6.8). Этот результат обобщен на восьмивершинную модель в разд. 10.4, а в разд. 11.5 он сформулирован на магнитном языке изинговых спинов. [c.370]

Как обычно, из соотношения звезда — треугольник следует, что при всех комплексных значениях и и v матрицы У(и) и V(v) коммутируют. Следовательно, можно выбрать представление, в котором матрица У(и) диагональна при всех и. Тогда равенство (14.8.1) представляет собой функциональное соотношение для каждого собственного значения. Данное соотношение с учетом свойств аналитичности и квазипериодичности У(и) позволяет в принципе вычислить любое собственное значение при конечном N. Следовательно, можно определить свободную энергию, поверхностное натяжение и корреляционную длину. Результаты, конечно, согласуются с (14.3.26). Кроме того, для критических показателей /х, Ру v модели жесткого гексагона получено значение [c.449]

Рассмотрение вершинных моделей на квадратной решетке начинается в гл. 7 с метода Либа для диагонализации трансфер-матрицы общей шестивершинной модели, удовлетворяющей условию нейтральности. Исследование термодинамики различных моделей сегнетоэлектриков дано схематически, и по этому вопросу следует обратиться к развернутому обзору Либа и Ву. Решение восьмивершинной модели (самосопряженной) описано в гл. 8 и 9, где в основном используется метод Бакстера. Там же интегрируемость трансфер-матрицы или соответствующего гамильтониана с тремя константами анизотропии связывается с существованием тернарных соотношений между матрицами вершинных весов. Эти тернарные соотношения, называемые также соотношениями звезда — треугольник, представляют собой замечательные представления группы перестановок и приводят к существованию коммутирующих однопараметрических семейств операторов,-что, в свою очередь, влечет за собой интегрируемость. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...