Отображения сохраняющие объем

Можно считать, что система (1) есть система дифференциальных уравнений движения потока жидкости, причем (/с = 1,. .., то) суть координаты частиц жидкости. Так как правые части не содержат явно независимой переменной, то имеет место установившееся движение. При = О положение частиц жидкости определяется координатами По прошествии времени 1 частицы перейдут из в х 1, ), чем устанавливается отображение на х. Функциональная матрица этого отображения есть хк ,) = ), и функциональный определитель равен Д. Если Д тождественно равно единице, получается отображение, сохраняющее объем, что соответствует несжимаемому потоку. В соответствии с уравнением (9) это означает, что [c.189]

Отображения, сохраняющие объем [c.282]

Отображения, сохраняющие объем 283 [c.283]

Отображения, сохраняющие объем 285 [c.285]

Отображения, сохраняющие объем 287 [c.287]

Отображения, сохраняющие объем 289 [c.289]

Таким образом, для случая Л = 1, Л" 1 (п = 1, 2,. ..) еще отсутствуют удовлетворительные методы исследования проблемы устойчивости плоского отображения, сохраняющего объем. Прогресс в этом паправлепии имел бы значение также для вопросов устойчивости систем Гамильтона с произвольным числом степеней свободы. Следует упомянуть еще о нескольких попытках, которые также пе были успешными. [c.289]

Объема сохранение см. отображения, сохраняющие объем, преобразование, сохраняющее объем [c.375]

Теорема 9.5.6. (Теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть Г — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область О евклидова пространства в себя ТО = О. Тогда в любой окрестности С1 любой точки из О найдется точка х 1, которая возвращается в окрестность Г2, т.е. Г а 6 П при некотором п > 0. [c.671]

Г. Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть д — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область В евклидова пространства в себя дВ = В. [c.67]

Возьмите композицию линейного отображения, неустойчивое слоение которого W двумерно, с сохраняющим объем диффеоморфизмом, который сохраняет слои W, но изменяет собственные значения в некоторой периодической точке. [c.752]

Будем исходить опять из действительного сохраняющего объем отображения = Зг, имеющего форму (21 1), (21 2), причем будем считать, что степенные ряды / х, у), д х, у) сходятся в окрестности начала координат. В эллиптическом случае собственные значения Л, матрицы [c.223]

Остается рассмотреть случай, когда Л = 1, по Л пе является корнем из единицы. Как показано в 21, в этом случае отображение (2) с помощью сохраняющей объем подстановки С, выраженной формальными степенными рядами, можно привести к нормальной форме [c.287]

Таким образом показано, что каноническое преобразование приводит к сохраняющему объем отображению фазового пространства, поскольку, как известно, якобиан определяет отношение объемов при отображении. Непосредственным следствием такого положения дел является тот факт, что интеграл [c.56]

Существует связь между интегралами уравнений пластического равновесия ( ) и отображениями пространственных областей, сохраняющими объем. Такие отображения будем называть каноническими. Более точно отображение у1 = (ж1,ж2,жз) называется каноническим в области С, если оно взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо, и объем любой [c.52]

Рассмотрим теперь отображение возвращения на удобную трансверсаль. В качестве последней возьмем такую прямую, соединяющую середины двух противолежащих отрезков границы, что угол а между трансверсалью и векторным полем лежит в интервале (тг/4, тг/2). Заметим, что в окрестности такой прямой инвариантная форма объема равна евклидову объему, так как точки этой окрестности находятся далеко от вершины. Следовательно, естественно индуцированный объем на трансверсали представляет собой кратное обычного элемента длины. Рассмотрим теперь отображение возвращения на трансверсаль. Оно непрерывно всюду, за исключением тех трех точек, которые лежат на отрезках с концами на седле. Кроме того, отображение возвращения — кусочно сохраняющее ориентацию отображение [c.470]

Приведите пример С°°-сохраняющего объем диффеоморфизма Аносова на Т , который сопряжен с линеиным автоморфизмом посредством отображения, сохраняющего объем, но не сопряжен с линейным автоморфизмом посредством С -отображения. [c.643]

Следовательно, (р х, у) является аналогом интеграла дифференциальных уравнений. Аналогично теореме Дирихле можно легко показать, что б всегда будет устойчивым в окрестности начала координат, когда сугцествует сходягцийся степенной ряд по ж и у, инвариантный при б , который имеет в начале координат экстремум в строгом смысле. Конечно, опять-таки сугцествуют примеры эллиптических отображений, сохраняющих объем с Л" 7 1 (гг = 3, 4,. ..), для которых вообще не существует таких инвариантных сходящихся рядов. [c.289]

В случае размерности два симплектическая форма представляет собой просто элемент объема. Следовательно, случаи сохраняющего площадь и ориентацию отображения и симплектический случай совпадают. В этой ситуации имеются два собственных значения, Л и А , и если точка трансверсальна, то Л 1. Следоватадьно, либо число А 1 вещественно, либо Л комплексно, А = 1 и Л- = Л. Исключая случай, когда А = -1, мы получаем две возможности гиперболическую (Л вещественно) либо эллиптическую ( А = 1, X Ф 1), обе из которых открыты. В случае обращающих ориентацию отображений собственные значения вещественны и любая трансверсальная точка гиперболична. Для сохраняющих объем отображений в случае размерности три или больше из резонансных условий (6.6.4). или (6.6.5) не следует неустранимого отсутствия гиперболичности. В этом случае можно возмутить любую трансверсальную неподвижную точку так, чтобы она стала гиперболической. [c.302]

Таким образом, в то время как теорема Купки — Смейла без каких-либо изменений формулировки справедлива для сохраняющих объем отображений в случае размерностей не ниже трех, ее аналог для сохраняющих площадь отображений в случае размерности два и для симплектических отображений гарантирует всего лишь массивность множества отображений, периодические точки которых трансверсальны, а собственные значения просты. Ключевой идеей доказательства этих утверждений является соответствующая модификация конструкции из доказательства леммы 7.2.7. [c.302]

Ири замене (7) существенно, чтобы было д 4, так как иначе (т = 0. Но если предыдущее отображение б построить для д = 8, то собственные значения для 3 будут примитивными корнями четвертой степени из единицы, и оба преобразования будут, очевидно, одинаково вести себя в смысле устойчивости. Таким образом, показано, что для каждого собственного значения Л, являющегося корнем из единицы, существует сохраняющее объем отображение с собственными значениями Л, Л, которое будет неустойчивым. Данное отображение имеет и дополнительное свойство, а имеппо оно является алгебраическим. [c.287]

Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат Я лежит одпосвязпая инвариантная относительно б окрестпость 8. Примем теперь, что 8 имеет границу, которую можно представить уравнением Р х, у) = 0. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей Я = зависящих от параметра 7, то получится семейство уравнений Р х, у, 7) = 0. Если эти уравнения удастся разрешить относительно 7 и если уравнение (р х, у) = 7, кроме того, будет аналитическим по ж и у, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении б каждая граница ср х, у) = 7 переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование б пе имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже пе доказано, что границей 8 является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что 8 будет при достаточно малой окрестности Я звездообразной, если формальный степенной ряд и, входящий в нормальную форму (12), не сводится то.пько к свободному члену, и что тогда граница С области 8 может быть представлена в полярных координатах г, I с помощью схо- [c.289]

Наконец, следует привести еще два простых примера сохраняющих объем эллиптических отображений, более тщательное изучение которых, быть может, приведет к новым точкам зрения па проблему устойчивости. Составим 8 = ТКмз двух отображений Т я К, сохраняющих объем. Пусть Д будет вращением, которое запигпем в комплексной форме С = Лг с Л = 1 пусть, далее, Т имеет в действительных координатах вид = х+/ у), Г] = у, где /(у) обозначает сходящийся степенной ряд по у с действительными коэффициентами, начинающийся с членов [c.290]

Для системы (6) определим, как и выше, сохраняющее объем отображение St в пространстве четырех переменных x, x2,yiviy2. Область [c.360]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...