Многочлены сферические

Частный случай. Конический маятник. — Может случиться, что сферический маятник описывает на сфере окружность, параллельную экватору он называется тогда коническим маятником. В этом случае оба корня Ь w с равны друг другу и положительны. Так как многочлен о (г) должен иметь двойной корень, то квадратуры (9) и (10) оказываются элементарными. Если предположить значения Ь к с ц, следовательно, Q бесконечно близкими одно к другому, то значение а становится равным 1Ь, [c.206]

Так как U u) является многочленом третьей степени относительно то время t выражается, как и в случае сферического маятника, эллиптическим интегралом первого рода [c.265]

П1.1 вводит в теорию притяжения по Ньютону. Лля силового поля тяготения определяется потенциал в случае двух и п притягивающих материальных точек. Рассматривается случай, когда имеется притягивающее тело в виде шара со сферическим распределением плотности и соответственно находится потенциал создаваемого поля тяготения. Изучается также методика разложения потенциала в ряд по сферическим функциям (многочленам Лежандра) для тела произвольной формы. При решении задачи о силе тяжести на поверхности [c.393]

Легко видеть, что вследствие однородности оператора Л относительно X, у, Z каждое слагаемое функции <р, которое представляет однородный алгебраический многочлен, должно в отдельности удовлетворять уравнению (1). Каждое такое однородное решение уравнения (1) называется объемной сферической функцией соответствующей степени. Если q> есть объемная сферическая функция степени п и если положить [c.137]

Отдельные члены решения, представляя из себя сферические функции в виде различных алгебраических многочленов, будут независимы друг от друга. Чтобы получить в решении уравнений (1) члены, зависящие от р , положим [c.745]

Чтобы получить явные выражения для основных (или элементарных) гармонических многочленов данной степени л, перейдем сначала к полярным сферическим координатам, полагал [c.155]

Если Un есть гармонический многочлен, то выражение (4.6) называется обычно объемной сферической функцией, а множитель Уп(0, X), определяемый формулой (4.7) и зависящий от двух сферических координат 0 и Я, называется поверхностной сферической функцией или просто сферической функцией л-го порядка. [c.155]

Как показывает формула (4.7), сферическая функция -го порядка есть многочлен относительно синусов и косинусов углов [c.155]

Каждому элементарному гармоническому многочлену также соответствует по формуле (4.6) некоторая сферическая функция, которую тоже будем называть элементарной. Следовательно, всякая общая сферическая функция является линейной комбинацией 2п+ элементарных сферических функций, обладающих указанной выше структурой. Мы еще более уточним эту структуру, рассматривая отдельно множители каждого члена формулы (4.7). А именно, множитель, содержащий только угол 0, мы будем рассматривать преимущественно как функцию от os 0, полагая [c.155]

Выведем одну важную формулу, называемую формулой сложения сферических функции. Для этого заметим, что, как уже было показано, все элементарные сферические функции -го порядка могут быть выражены через многочлен Лежандра Pn(v), где v= os 0, который является, таким образом, функцией угла, образованного радиусом-вектором точки сферы единичного радиуса М(0, Я.) с положительным направлением оси Oz [c.179]

Но каждый гармонический многочлен, преобразованный к сферическим координатам г, ф, ф, порождает объемную сферическую функцию того же порядка, так что мы можем написать также [c.203]

Сферической функции входящей в формулу (5.16), соответствует также некоторый другой однородный гармонический многочлен, который обозначим через Оп, так что имеем [c.213]

Однако в практических приложениях обыкновенно используются только несколько первых членов подобных рядов, а поэтому полезно привести формулы, дающие развернутые выражения этих первых членов. Мы ограничимся выписыванием только первых пяти членов, т. е. найдем выражения сферических функций или гармонических многочленов для п = 0, 1, 2, 3, 4. [c.218]

Коэффициенты Anh, В и и Лпи, Впн разложений (5.10) и (5.16) силовой функции по сферическим гармоникам могут быть, конечно, вычислены непосредственно по фор.мулам (5.12), (5.13) и (5.18), (5.19), но могут быть также выражены через коэффициенты гармонических многочленов i/ и Un- [c.226]

Определение. Сферическими многочленами Рп(х, у, г) называются однородные многочлены переменных х, у, z степени п, являющиеся решениями уравнения Лапласа (4.5.51). [c.373]

Связь многочленов Ламэ со сферическими гармоническими функциями [c.101]

Перед тем как продолжить доказательство того, что К в уравнениях Ламэ являются вещественными и различными, рассмотрим аналогию между многочленами Ламэ, которые предназначены для использования в эллипсоидах, и обыкновенными сферическими функциями. [c.101]

Многочлен Ламэ, соответствующий определённому нормальному решению L X)M ii)N(i ), на большом расстоянии от начала координат будет с хорошим приближением равен X / M ii)N v). Но поскольку Л , последнее выражение всегда будет в точности представлять однородную часть многочлена Ламэ. Но это есть сферическая гармоническая функция, а т. к. координаты в, (р стремятся к в, (р сферических полярных координат, мы имеем [c.102]

Сферической функцией степени п называется тригонометрический многочлен [c.207]

Продольная сферическая аберрация может быть представлена многочленом, содержащим четные степени параметра а или т [c.152]

На основе экспериментальных данных [8] вероятность осаждения представлялась степенным многочленом, в котором главный член был квадратичным. В [13] вероятность осаждения частиц на сферических или цилиндрических препятствиях теоретически получена также в виде квадрата от уа/г. Учитывая эти результаты, вероятность осаждения частицы в капилляре предполагалась в виде [c.109]

ТОЛЬКО синусы, если Шг — нечетное, а наибольшая кратность угла К под знаками синусов и косинусов будет, очевидно, равна mi + m2 n ). Поэтому число членов с косинусами различных кратностей угла К будет равно п+1, а число членов с синусами будет равно п. Таким образом, число различных тригонометрических одночленов, калсдый из которых содержит либо только косинус либо только синус целой кратности К, будет, очевидно, равно как раз 2п- -, т. е. полному числу элементарных сферических функций /1-го порядка. Так как выбор элементарных гармонических многочленов, а следовательно, и элементарных сферических функций, вполне произволен, то мы можем распорядиться этим выбором так, чтобы каждая элементарная сферическая функция п-то порядка представляла собой произведение некоторой функции от V на косинус или на синус угла кХ (/г = 0, 1, 2.....п). [c.156]

Сферические функции Fn(0, X), входящие в это разложение, можно представить в явном виде, заменяя, в формуле (5.9) многочлен Лежандра Pn osy) его выражением (5.8). Тогда получим [c.209]

Чтобы найти такое разложение, заметим, что по формуле (4.6) гл. IV каждой сферической функции п-го порядка со-отистствует некоторый однородный гармонический многочлен /г-й степени, так что мы имеем [c.213]

В самом деле, сферические функции, игреки Лапласа , получаются из гармонических многочленов путем замены прямоугольных координат через полярные сферические, по формулам (5.3), что позволяет выразить 2л+ 1 независимых коэффициентов гармонического многочлена п-й степени через 2п+ коэффициентов сферической функции /г-го порядка. Наоборот, заменяя синусы и косинусы сферических кординат в общем выражении для К (0,/.) их значениями в функции х,у,г, мы перейдем от сферической функции к гармоническому многочлену, что опять позволит написать соотношения между коэффициентами обеих функцнй. [c.226]

Иначе сферических многочленов степени п Прам. перед. [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...