Граничные дуги без контакта

Лемма 6. Все точки угловой дуги и угловой траектории, а также все точки орбитно-неустойчивой полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта, могут быть граничными не более, чем для двух ячеек. [c.289]

Лемма 13. а) Вокруг каждой точки неособой целой дуги траектории А, отличной от концов этой дуги., существует окрестность, через все точки которой проходят неособые целые дуги траекторий, пересекающие те же граничные дуги без контакта, что и дуга Л. б) Вокруг каждой точки неособой полутраектории Ь+, конец которой лежит на граничной дуге или цикле) без контакта, существует окрестность, через которую проходят неособые положительные полутраектории, концы которых лежат на той же дуге или цикле) без контакта, что и конец полутраектории (Такое же утверждение справедливо и для отрицательной полутраектории.) [c.296]

Может случиться, что концы граничных дуг без контакта (т. е. угловые точки) входят в границу ячейки, но ни одна отличная от конца точка граничной дуги беэ контакта не входит в границу ячейки. [c.296]

Ячейки, в границу которых входят граничные дуги. Перейдем теперь к рассмотрению ячеек, среди граничных точек которых есть части граничных дуг без контакта. [c.313]

Лемма 1. Пусть К — граничная дуга без контакта, М — принадлежащая ей угловая точка. Тогда если Я — положительная граничная [c.448]

Аналогично рассматривается случай, когда Я является отрицательной граничной дугой без контакта. Лемма доказана. [c.449]

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

Леммы о граничных особых элементах и ю- и а-дугах, являющихся частями граничных дуг без контакта. [c.469]

Определение XXX. Мы скажем, что задана схема (или полная схема) граничной кривой Гу, если 1) указано, является ли она внешней или внутренней граничной кривой области С т. е. наверху у нее помечен знак -г или —) 2) указано, является ли кривая Г - циклом без контакта, замкнутой траекторией или состоит из дуг траекторий и дуг без контакта 3) если кривая Г - — цикл без контакта, то указано, [c.449]

Общие точки граничных дуг без контакта п граничных дуг граекто-рий будем называть угловыми точками границы (например, точка Му [c.286]

Рассмотрим дугу траектории с концами, являющимися точками граничных дуг без контакта, у которой все отличные от концов точки принадлежат области а. Такая дуга называется угловой дугой, если хотя бы один из ее концов является угловой точкой границы (см. дугу ЛМ на рис. 173) и целой пеособой дугой, если ни один из ее концов, являю- [c.286]

Лемма 4. Если какая-нибудь отличная от угловой точка особой полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта т. е. точка угловой полутраектории или орбитно-неустойчивой тыутраек-тории, пересекающей граничную дугу без контакта), является граничной точкой для какой-нибудь ячейки, то и все точки зтой дуги или этой полутраектории являются граничными для той же ячейки. [c.288]

Приведем еще одну лемму, касающуюся неособых пелых дуг, т. е. дуг траекторий, концы которых лежат на граничных дугах без контакта, причем не являются угловыми точками границы, а все отличные от концов точки принадлежат области С (см. 16, п. 1), и неособых полутраекторий, концы которых лежат на граничной дуге (или цикле) без контакта. Справедливость этой леммы непосредственно следует из леммы 5 3. [c.296]

Теорема 46. Если внутри какой-нибудь ячейки существует неособый элемент, являющийся целой траекторией (или полутраекторией, пересекающей граничную дугу без контакта, или дугой траектории, коицы которой лежат на граничных дугах или циклах без контакта), то все пеособые элементы этой ячейки также являются целыми траекториями или соответственно полутраекториями, пересекающими граничную дугу [c.299]

Доказательство. Предположим противное, т. е. что внутри какой-нибудь ячейки, содержащей целую (неособую) траекторию Ь, существует пеособый элемент другого характера, например, неособая полутраекторияпересекающая грапичпую дугу без коптакта. Соединим какую-нибудь точку А траектории Ь и какую-нибудь точку В полутраектории простой дугой %, це.чиком лежащей внутри рассматриваемой ячейки. На дуге Я существуют точки двух типов через точки первого типа проходят целые неособые траектории, через точки второго типа целые траектории пе проходят и, следовательно, проходят неособые полутраектории, пересекающие граничную дугу без контакта (или дуги траектории, пересекающие граничную дугу). [c.300]

В силу лемм 8, 11, 12 точками первого типа заведомо являются все достаточно близкие к точке А точки дуги %, а точками второго типа — все достаточно близкие к точке В точки дуги Я. Двигаясь по дуге к от точки А к точке В, мы переходим от точек первого типа к точкам второго типа. Следовательно, на дуге к должна существовать некоторая точка С, являющаяся либо последней точкой первого типа, либо первой точкой второго типа. Но последней точки первого типа (т. е. последней точки, через которую проходит неособая це.чая траектория) в силу лемм 8, 11 и 12 существовать не может. Следовательно, точка С является первой точкой второго типа. Через эту точку проходит неособый элемент, по являющийся целой траекторией, т. е. либо по.чутраектория, пересекающая граничную дугу без коптакта, либо дуга траектории, концы которой лежат па граничных дугах без контакта. Но в обоих этих случаях в силу леммы 13 точка С не может быть на дуге к первой точкой второго типа. Следовательно, все неособые элементы рассматриваемой ячейки являются целыми траекториями. Совершенно такое же рассуждеш1е справедливо также в случае, когда в данной ячейке существует полутраектория или дуга траектории, пересекающая граничную дугу без контакта. Теорема доказана. [c.300]

Замечание. Из доказанной теоремы и замечания к лемме 13 вытекает, что среди граничных точек ячейки, заполпецпоп целыми траекториями, заведомо не могут быть точки граничных дуг без контакта, не являющиеся угловыми точками. [c.300]

Рассмотрим часть граничной дуги без контакта с концами, принадлежащими угловым дугам или особым полутраекториям, у которой все точки кроме концов принадлежат неособым дугам или неособым полутраекториям. Будем называть такую часть граничной дуги особой со-дугой или особой а-дугой, в зависимости от того, выходят ли из области G все пересекающие ее полутраекторип или дуги траекторий при возрастании или убывании t. [c.313]

Общую точку граничной дуги без контакта и граничной дуги траектории мы называ.ли угловой точкой границы, а дугу траекторни или полутраектории, имеющую своим концом угловую точку и [c.447]

Рассмотрим дугу без контакта Я. Все траектории, проходящие через внутренние точки дуги Я при возрастании I либо выходят из области С, либо все они входят в область С. В первом случае мы будем назшзать А положительной граничной дугой без контакта, во втором — отрицательной граничной дугой без контакта. Аналогично онределяется поло-жителъный граничный и оуприцателъный граничный цикл без контакта. [c.448]

Рассмотрим а) все простые замкнутые кривые (С), (о), (Г), являющиеся несвободными циклами без контакта в) все параболические дуги без контакта (/), входящие в канонические кривые (а) состояган равновесия, не являющихся узлами в) все граничные дуги без контакта (X). [c.459]

Цепочки ИЗ особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (илн со)-дуги может принадлежать 1) либо орбитно-неустойчивой траектории, целиком лежащей в области С, либо орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой лежит на границе области С в последнем случае дуга а может быть граничной элементарной дугой 2) либо граш1чни1г или угловой дуге траектории в этом случае дуга а является граничной дугой без контакта 3) либо угловой полутраектории в этом случае дуга а может быть как граничной, так и не граничной дуго11 без контакта 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец дуги а совпадает с концом эллиптической дуги). [c.472]

В этом случае точки рассматриваемой а-дуги, очевидно, являются точками граничной дуги без контакта, а полутраектория в сплу того, что она орбптпо-неустойчива, заведомо не является угловой полутраекторией. [c.472]

Следствие 1. Пусть Ь — незамкнутая траектортш, пересекающая дугу без контакта I более чем в одной точке ( 1), М2 ( 2) — Две последовательные по t точки ее пересечения с дугой I ( < 2) и С — простая замкнутая кривая, состоящая из М1М2 траектории Ь и части М Мг дуги I (рис. 68). Если область Г, лежащая внутри кривой С, не содержит граничных точек области С, то она содержит по крайней мере одно состояние равповесия. Действительно, в силу леммы Г1 3, одна из двух полутраекторий или лея ит целиком (если ио считать ее начала) внутри кривой С. Пусть для определенности это полутраектория Все ее предельные точки лежат, очевидно, в области Г. Либо среди этих предельных точек есть состояние равновесия, и тогда паше утверждение доказано, либо множество этих предельных точек является замкнутой траекторией, лежащей в области Г. Но тогда по теореме 16 внутри этой замкнутой траектории, а следовательно, в области Г имеется хотя бы одно состояние равновесия. Утверждение доказано. [c.117]

Траектории, дуги без контакта, дуги траекторий и циклы без контакта, входящие в границу, будем называть граничными траекториями, граничными дугами траектори , граничными дугами без 1 0нтакта и граш1Ч-пыми циклами без контакта. [c.286]

Будем называть особой дугой граипчиую дугу без контакта, граничную или угловую дугу трае тории. [c.287]

I — дуга без контакта, проведенная через точку Р. На дуге I лежит стремящаяся к точке Р последовательность точек траектории /уд. Но тогда на этой дуге сколь угодно близко к точке Р лен ат такие точки всякой ячейки, для которой траектория Ьо является граничной. На основании следствия 3 из леммы 9 отсюда следует, что точка Р является хгредель-ной и для неособых траекторий этой ячейки. Теорема доказана. [c.299]

Пусть R и R — две точки дуги I, лежащие по разные стороны траектории L (рис. 185). Так как по предположению g" — область, то точки R и R" можно соединить простой дугой Л, целиком лежащей в области g". Будем двигаться по дуге к от точки R к R и пусть Р — последняя точка дуги к, лежащая па части R Q дуги I, а Р" — первая точка дуги к, лежащая на части R"Q дуги I. Пусть А — часть Р Р" дуги к. Очевидно, к является простой дугой, соединяющей точки Р и Р", целиком лежит в области g" и не имеет с частью Р Р" дуги I других общих точек, кроме своих концов. Но тогда простая дуга 7J вместе с частью Р Р" дуги I образует простую замкнутую кривую С, целиком лежащую в области g. Эта замкнутая кривая имеет с траекторией L" одну только общую точку Q, причем в этой точке траектория "в силу того, что точка Q есть точка дуги без контакта Р Р", при возрастании t переходит из одной области, определенной кривой С, в другую, например из вне во внутрь кривой С. Но тогда ю-предельпые точки траектории L", принадлежащие континууму Kz, должны лежать внутри кривой С, а а-предельные точки, принадлежащие континууму Ку, вне кривой С. Таким образом, граничные точки области g лежат как внутри кривой С, так и вне ее. Так как ag, то отсюда следует, что g — двусвязная область. Но это противоречит утверждению а). Полученное противоречие показывает, что множество g" не является об.пастью. [c.309]

Если на всякой дуге без контакта, проведенной через точку траектории Ьа, граничной для ячейки ю, точкп этой ячейки лежат по положительную (отрицательную) сторону Ь ., то мы скажем, что траектория нуль-гранична для ячейки IV с положительной (отрицательной) сторор.ы. [c.418]

Сохраняя прежние обозначения для угловых полутраекторий и но-угловых особых полутраекторий соответствехшо и Ь , будем обозначать граничные дуги траекторий через lq, грапичпые дуги без контакта через kq и угловые дуги — через /р, а граничную целую траекторию через Ьо. Будем замкнутую кривую Г, граничную для С, обозначать через Г+ [c.447]

В случае, когда Гу состоит из дуг без контакта и дуг траекторп , схема граничной кривой Г может быть задана следующимп таблицами. [c.450]

Замечаиие 1. Первая из таблиц, описывающая схему граничной кривой, т. е. таблица (1), позволяет определить, какие из дуг без контакта Я являются положительными и какие отрицательными дугами без контакта. Дехгетвительно, пусть Я — одна из этих дуг, — угловая точка, являющаяся общим концом дуг Я и д. Если точка МУ входит в запись вида (1), то она является внутренней угловой точкой, если нет — то внешней. Кроме того, относительно точки указывается, является ли она ю- или а-концом дуги траектории /. Таким образом, если задана локальная схема, то относительно всякой угловой точки известно, является ли она ш- или а-внутренней или со- или а-внешне11. А тогда лемма 1 позволяет заключить, является дуга без контакта положительной или отрицательной дугой без коптакта. [c.450]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...