Сопряженные диаметры эллипс

Пусть окружность данного диаметра принадлежит плоскости Му. Плоскость Qv, параллельная горизонтальной плоскости проекций Н, пересекает плоскость окружности по диаметру аЬ, а Ь. Здесь двум взаимно перпендикулярным диаметрам аЬ, а Ь и d, d окружности соответствуют сопряженные взаимно перпендикулярные диаметры аЬ и d эллипса — горизонтальной проекции окружности. Такие сопряженные диаметры эллипса называют его осями. Диаметр аЬ, а Ь окружности и ось аЬ эллипса равны. [c.148]

Центры квадратов (окружностей) в изометрии являются центрами ромбов (эллипсов). Диаметры окружностей, параллельные координатным осям, изображаются сопряженными диаметрами эллипсов. Каждый из [c.309]

Центры окружностей и точки соприкасания их с квадратами в серединах сторон являются, очевидно, и в диметрической проекции также центрами эллипсов и точками соприкасания эллипсов с ромбами и параллелограммами в серединах их сторон. Диаметры окружностей, параллельные осям, являются сопряженными диаметрами эллипсов. [c.312]

Построение эллипса по сопряженным диаметрам. Два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды эллипса, параллельные другому диаметру, называются сопряженными диаметрами эллипса. Их можно рассматривать как проекции взаимно перпендикулярных диаметров окружности. [c.49]

Способ 1. (рис. 3.61). Пусть диаметрам окружности А В и D соответствуют сопряженные диаметры эллипса АВ и D. Соединяют точку С с точкой С. Из произвольных точек / и 2 окружности проводят прямые, параллельные этому отрезку, а из оснований перпендикуляров, опущенных из точек на диаметр А В, — прямые, параллельные ОС. В пересечении получают точки, принадлежащие эллипсу. [c.49]

В результате построения осей эллипсов I и I" на чертеже оказываются заданными восемь точек данной окружности. Точки I, 2, 3 и 4 являются концами осей эллипса I и концами пары сопряженных диаметров эллипса Г. Точки 3 и 4, находясь дальше других точек окружности от ее горизонтального диаметра I—2, являются низшей и высшей точками окружности. Аналогично точки 5, 6, 7 и 8 являются концами осей эллипса I" и концами пары сопряженных диаметров эллипса Точки 7 и 8, находясь дальше других от фронтального диаметра 5—6, являются самой близкой и самой дальней точками окружности (ср. черт. 305 и 263). К точкам /,. .., 8 можно прибавить на чертеже любое число дополнительных промежуточных точек окружности 9, 10 и т. д. Построение их можно осуществить так же, как построение точек 3 и 7. [c.104]

Для построения эллипса, являющегося горизонтальной проекцией искомой окружности, следует построить горизонтальные проекции взаимно перпендикулярных диаметров ЕР и ОН искомой окружности. Проекции и С(//4 этих диаметров будут сопряженными диаметрами эллипса,, при помощи которых можно построить и сам эллипс. В дополнение к. этому следует определить точки видимости М N для плоскости проекций П1. [c.182]

На рис. 5 изображена горизонтальная проекция окружности. Строим какую-нибудь пару сопряженных диаметров эллипса. Для этогО проводим две любые параллельные хорды его /—2 и 3—4. Точками 5 и б делим их пополам. Через точки 5 и б проводим прямую до пересечения ее в точках 7 и 5 с эллипсом. Отрезок 7—S является одним из [c.9]

По сопряженным диаметрам эллипса строим его оси. Для этого один из сопряженных полудиаметров, например 09, поворачиваем вокруг точки О на угол 90° до положения 09. Через точки 5 и 9i проводим прямую отрезок 8—9i точкой 10 делим пополам из точки 10 , как из центра, радиусом, равным отрезку 10 0, описываем дугу до пересечения ее с прямой 8—9 в точках а и Ь. Прямые Оа и ОЬ будут соответственно направлениями большой и малой осей эллипса. Прямая Оа является горизонтальной проекцией горизонтали плоскости, в которой лежит окружность. Фронтальную проекцию горизонтали, поскольку положение ее по отношению к оси х условием задачи не обусловлено, проводим в любом месте чертежа параллельно оси х. Отложив на прямой Оа от точки О отрезок Ос, равный а9 = Ъ8, получим большую полуось эллипса. Аналогично строится на прямой ОЬ малая полуось Od=a8=b9i. [c.10]

Эллипс имеет множество пар сопряженных диаметров. Два диаметра называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные второму. У окружности сопряженными являются взаимно перпендикулярные диаметры. Так как понятие сопряженности диаметров связано с простым отношением трех точек, которое сохраняется при параллельном (ортогональном) проецировании, то множество сопряженных диаметров окружности проецируется в множество сопряженных диаметров эллипса. [c.71]

Из этого определения видно, что каждые два взаимно перпендикулярных диаметра окружности являются в то же время сопряженными. Таким образом, свойство сопряженности диаметров для окружности совпадает со свойством их перпендикулярности. После аффинного преобразования поля И мы заметим следующее. Сопряженные диаметры окружности должны перейти в сопряженные диаметры эллипса, так как свойство сопряженности определяется параллельностью хорд и делением их пополам. Но оба эти свойства являются [c.35]

Покажем, что два сопряженных диаметра А В и СО вполне опреде ляют эллипс. Пусть, например, даны два произвольных взаимно делящихся пополам отрезка А В и СО (рис. 27). Будем рассматривать их как сопряженные диаметры эллипса. Построим родственное поле П и окружность, соответственную эллипсу поля П. Родство полей установим следующим образом примем за ось родства прямую А В . Тогда диаметру Л В эллипса будет соответствовать диаметр АВ окружности, совпадающей с ним (АВ=А С). Так как по условию диаметры А В и СО эллипса сопряжены, то диаметры родственной окружности также должны быть сопряженными, а следовательно, и взаимно перпендикулярными АВ СО). Точке С эллипса соответствует точка С окружности. Теперь родственное соответствие полей П и П определено осью родства (А В =АВ) и парой соответственных точек (С, С). Построив родственную окружность, мы можем найти сколько угодно точек эллипса, который поэтому вполне определенен. На рис. 27 это построение показано для точки Л1. [c.36]

Пусть имеем окружность 0 АВ, СО) поля П и родственный ей эллипс (У А В, СО ) поля П. Если АВ п СО— пара взаимно перпендикулярных диаметров, а М — произвольная точка окружности, то построим соответственную точку М эллипса в поле П. Проведем прямую ВМ до пересечения ее с прямой АС в точке Л (рис. 28). В треугольнике АВА/ прямые АМ кВС являются высотами. Обозначим точку пересечения высот буквой Р. Тогда третья высота из вершины N на сторону АВ пройдет, очевидно, через точку Р. Рассмотрим, что будет соответствовать этим построениям в родственном поле П, Окружность 0(АВ, СО) перейдет в эллипс 0 (А В, СО ). При этом взаимно перпендикулярные, а следовательно, и сопряженные диаметры окружности (/4В СП) перейдут в сопряженные диаметры эллипса (А В, С С). Треугольник ABN перейдет в треугольник А В N. Отрезку ВС будет соответствовать отрезок В С. Прямая УР, как параллельная диаметру СО, перейдет в прямую V Р, параллельную диаметру эллипса СС. Тогда третья высота АМ треугольника ABN перейдет в прямую А М (рис. 28,6). Таким образом, получаем построение эллипса по точкам, основанное на его родстве с окружностью. Коротко это построение сводится к следующему (см. рис. 28). Пусть эллипс задан сопряженными диаметрами А В , СО . На прямой А С берем произвольную точку N, которую соединяем с точкой В. [c.37]

Оси эллипса. Ранее было показано, что каждые два сопряженных диаметра окружности переходят в сопряженные диаметры эллипса. При этом сопряженные диаметры окружности всегда взаимно перпендикулярны, а соответственные сопряженные диаметры эллипса вообще не перпендикулярны. Однако в том случае, когда сопряженные диаметры окружности являются главными направлениями, им будут соответствовать сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры эллипса. Такие два взаимно сопряженных и перпендикулярных диаметра эллипса называются его осями. Так как имеется одна пара главных направлений, то эллипс имеет одну пару осей. На чертеже (рис. 32) показано построение осей эллипса, которое по существу ничем ые отличается от построения главных [c.40]

Дана пара сопряженных диаметров эллипса. Требуется найти оси эллипса. [c.42]

Множество пар сопряженных (взаимно перпендикулярных) диаметров окружности определит при проектировании аналогичное множество пар сопряженных диаметров эллипса. [c.118]

ЦО х 2 —2 0 у и 3 —3 0 2, а соответствующие их пары явятся сопряженными диаметрами эллипсов А, В и С (рис. 433). [c.365]

Соприкасающаяся плоскость 172 Сопряженные диаметры эллипса 35, 118 [c.415]

Размеры сопряженных диаметров эллипса можно получить, если из центра искомого эллипса провести вертикальную линию параллельно оси г до пересечения с меридиональным эллипсом, вычерченным в плоскости гу. [c.164]

Сокращенное умножение 67 Соленоидальное векторное поле 234 Соприкасающаяся окружность 266 Соприкосновение кривых 266 Сопряженные гиперболы 245 Сопряженные диаметры эллипса 243, 244 [c.585]

Фиг, 1,5. Сопряженные диаметры эллипса. [c.244]

Диаметры эллипса называют сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому (если сопряженные диаметры эллипса взаимно-перпендикуляр-нц, то они являются его осями). [c.48]

Уравнение (III) эквивалентно (20), т. е. уравнению нейтральной оси, так как л ,, удовлетворяют (II). И теперь мы видим, что нейтральная ось параллельна касательной к центральному эллипсу инерции поперечного сечения в той точке, в которой эллипс пересекается плоскостью М, т. е. нейтральная ось и след плоскости М являются сопряженными диаметрами эллипса инерции поперечного сечения. [c.217]

Покажем, что сопряженным диаметрам окружности соответствуют сопряженные диаметры эллипса. [c.288]

Следовательно, перпендикулярным диаметрам окружности соответствуют сопряженные диаметры эллипса. В проективной геометрии доказывается, что для любого аффинного преобразования плоскости существуют такие два взаимно перпендикулярные, так называемые главные направления, которые переходят снова во взаимно перпендикулярные. [c.288]

Сопряженные диаметры эллипса не перпендикулярны один к другому исключение составляют оси эллипса, также являющиеся парой сопряженных диаметров. [c.79]

Как по заданным сопряженным диаметрам эллипса построить его оси [c.81]

А) О сопряженных диаметрах эллипса см. 21. [c.251]

К четырем точкам — концам осей эллипса — можно добавить еще четыре точки — концы двух сопряженных диаметров эллипса, параллельных соответственно двум из аксонометрических осей (в зависимости от того, какой плоскости координат параллельна плоскость, в которой лежит рассматриваемая окружность). Эти сопряженные диаметры при указанном выше увеличении (1,22) равны диаметру изображаемой окружности. [c.340]

Фигура, родственная окружности, будет вообще эллипсом, причем взаимно перпендикулярные диаметры окружности переходят в сопряженные диаметры эллипса. [c.359]

Аналитические расчеты показывают, что при использовании приведенных коэффициентов искажения окружность диаметром D, расположенная в любой из координатных плоскостей, изображается одинаковым эллипсом, большая ось которого составляет 1,22D, а малая —0,7Ш. При этом сопряженные диаметры эллипса, параллельные аксонометрическим осям, равны диаметру изображаемой окружности. [c.76]

При построении косоугольной диметрической проекции окружности диаметром О, расположенной в горизонтальной плоскости, строят сопряженные диаметры эллипса параллельно осям ОХ иОУ (рис. 86, а). Размер сопряженного диаметра, параллельного оси ОХ, равен О, а параллельного оси ОУ — 0,50. Окружность делят, на любое число равных частей, например 12 (рис. 86, б). Через точки деления проводят хорды 2—/2, 3—//, 5—9, 6—8. Точки пе- [c.81]

На рис. 71 изображено проецирование в диметрии окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных плоскостям проекций. В отличие от изометрии в диметрии при проецировании граней куба получаются не три ромба, а лишь один, представляющий собой проекцию квадрата, параллельного фронтальной плоскости проекций. Два других квадрата, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, изображаются параллелограммами с соотношением сторон 1 2. Точки касания эллипса лежат на серединах сторон ромба и параллелограммов. Прямые, соединяющие эти точки, образуют пару сопряженных диаметров эллипсов. [c.63]

С, О отрезки А В я СО являются сопряженными диаметрами эллипса. Строим параллелограмм, стороны которого проходят через точки А, В, С, О параллельно сопряженным диаметрам эллипса. В параллелограмм вписываем эллипс по способу, указанному на рис. 43. Большая ось эллипса показана штрих-пунктирной линией она перпендикулярна оси ОхХ. [c.51]

На рис. 219 представлены два произвольно выбранных и делящихся пополам отрезка— AiBu и l А. Рассмотрим эти отрезки как сопряженные диаметры эллипса. Один из отрезков, например АгВ,, примем за диаметр окружности, родственной эллипсу. Здесь соответственные диаметры эллипса и окружности совпадают (АВ = AiB ). [c.147]

На рис. 225 пересекающиеся в точке О отрезки Ки и GE являются сопряженными диаметрами эллипса. Один из полудиамет-ров, например ОК, повернем на 90° вокруг центра О по часовой стрелке. Получим от- [c.150]

Параллельной проекцией эллипса может быть или эллипс, или окружность. В первом случае сопряженные диаметры эллипса проецируются сопряженными диаметрами эл-липса-проекции. Во втором случае сопряженные диаметры эллипса проецируются взаимно перпендикулярными диаметрами окруж-ности-проекции. [c.151]

СОсозф Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру), это свойство при параллельном проецировании сохраняется, следовательно, диаметры A B и С]0) будут сопряженными диаметрами эллипса. Но, с другой стороны, эти диаметры взаимно перпендикулярны, так как являются проекциями взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых параллелен плоскости проекций, поэтому они являются осями эллипса, причем Л1В1— большая ось, а O — малая ось. [c.120]

Для построения эллипса, являющегося фронтальной проекцией сечения, следует построить фронтальные проекции взаимно перпендикулярных диаметров АВ и СО окружности сечения, что легко сделать из условия сохранения высот точек при замене плоскости Пг на П . Проекции ЛгБ и С2О2 этих диаметров будут сопряженными диаметрами эллипса, так как взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании окружности в эллипсе сохраняется. Имея сопряженные диаметры эллипса, можно его вычертить известным способом (с помощью описанного параллелограмма). [c.159]

Сопряженные диаметры эллипса являются проекциями двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности, проекцией которой является эллипс. Сопряженные диаметры эллипса можно определить, пользуясь такими операциями построения, которые не противоречат основным инвариантам параллельного проецирования [5, 9]. На рис. 2 для окружности и на рис. 3 для эллипса выполнены эти построения. Для построения двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности и пары сопряженных диаметров эллипса проводим в произвольном направлении две параллельные хорды АВ и D для окружности и A B и jDj для эллипса делим их соответственно в точках /, 2 и t, 2 пополам через точки деления проводим прямые, одна из которых [c.7]

Построение эллипса, вписанного в данный параллелограмм GMTF (рис. 63, б). На пересечении диагоналей параллелограмма находяг центр О и проводят сопряженные диаметры эллипса. Дальнейший ход решения аналогичен построению, приведенному на рис. 63, а. [c.44]

Пострреш1е осей эллипса по данным сопряжеишам диаметрам (рис. Ш.39).. Если даны сопряженные диаметры эллипса MN и KL, по ним можно построить обе оси эллипса АВ и D, после чего построение самого эллипса может быть выполнено согласно рис. 111.35 или Ш.36. [c.143]

Построение осей эллипса по данным сопряженным диаметрам (рис. 39). Если даны сопряженные диаметры эллипса МЫ и КЬ, можно построить по ним обе оси эллипса, после чего построение самого эллиНба кюжет быть выполнено согласно рис. 35 или 36. [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...