Теорема об устойчивости состояния равновесия консервативной системы (теорема

Применим изложенные теоремы Ляпунова к исследованию устойчивости состояния равновесия консервативной системы и к выяснению влияния диссипативных и гироскопических сил на устойчивость состояний равновесия. Допустим, что кинетическая энергия Т системы, описываемой уравнениями (1.1), представляет собою однородную положительно определенную форму обобщенных скоростей и что обобщенные силы Q могут быть представлены в виде [c.262]

Согласно теореме Лагранжа состояние равновесия консервативной механической системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна [40]. Необходимое условие минимума полной энергии записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа [c.41]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

Согласно теореме Лагранжа, консервативная механическая система находится в состоянии устойчивого равновесия только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна. Таким образом, если система находится в устойчивом равновесии, то всякие допустимые по условиям закрепления системы отклонения приводят к увеличению ее полной потенциальной энергии. [c.28]

Теорема об устойчивости состояния равновесия консервативной системы (теорема Лагранжа — Дирихле) 40 [c.350]

Доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости состояния равновесия консервативной системы, соответствующего минимуму потенциальной энергии, было усовершенствовано Ф. Миндингом в его курсе механики 1838 г. и вполне безупречно проведено Г. П. Лежен-Дирихле в заметке 1846 г. [c.120]

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое дока-аательетво того, что для любой материальной системы (в консервативном силавом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы, находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ). [c.42]

Если исследуемая механическая система не обладает свойством консервативности (из-за действия сил трения или неконсервативных позиционных сил), теорема Лагранжа—Дирихле неприменима и для суждения об устойчивости состояний равновесия, а также стационарных режимов необходимо исследовать характер возмущенного движения. [c.154]

Сравнительно просто решается вопрос об устойчивости равновесия для консервативных механических систем с конечным числом степеней свободы, когда справедлива теорема Лагранжа— Дирихле если в состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, то это состояние устойчиво. [c.153]

СГбЙЧИВОСГЬ РАВНОВЕСИЯ равновесие системы устойчиво, если при малом возмущении система во всё последующее вр>емя мало отклоняется от состояния равновесия. В случае механич. консервативной системы достаточное условие У. р. даётся Лагранжа — Дирихле теоремой. Строго У. р. определяется и исследуется так же, как и устойчивость движения. [c.257]

МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ— состояние покоя или прямолинейноравномерного движения системы материальных точек (тела, звена, механизма). М. может 1ть устойчивым, неустойчивым и безразличным. При устойчивом равновесии достаточно малые отклонения системы (тела) от положения равновесия вызывают силы, стремящиеся вернуть ее в состояние равновесия. Условием устойчивого равновесия для консервативной системы (где механическая энергйя не превращается в тепловую) является минимум потенциальной энергии данной системы (теорема Лагранжа—Дирихле). Если на систему с идеальными связями действуют только силы тяжести, то устойчивым будет положение, при котором центр тяжести занимает самое низкое положение (принциТП Торичелли). [c.178]

Однако по уравнениям равновесия сил (121,4) нельзя судить об устойчивости состояния покоя в этих положениях системы. Условие устойчивости состояния покоя механической системы содержится е т ореме Лагранжа—Дирихле. Эта теорема устанавливает, что те положения покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями покоя. [c.532]